Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину $x$, искомую функцию $y$ и её производные, то есть соотношение вида:

$\mathrm{\Phi }(x,y^{\prime },y^{″},...,y^{(n)})=0$

Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией $y$ от переменной $x$ и её производными.

Дифференциальное уравнение Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида

$y=x\phi (y^{\prime })+\psi (y^{\prime })$

где $\phi$ и $\psi$ — известные функции от $y^{\prime }$, причём считаем, что функция $\phi (y^{\prime })$ отлична от $y^{\prime }$. Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных $x$ и $y$.

Такое дифференциальное уравнение приходится решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр $y^{\prime }=p$. Тогда уравнение можно записать в виде:

$y=x\phi (p)+\psi (p)$ $⟷$ $(1)$

Замечая, что $p=\frac{dy}{dx}$ продифференцируем обе части этого уравнения по $x$:

$p=\phi (p)+[x{\phi }^{\prime }(p)+{\psi }^{\prime }(p)]\frac{dp}{dx}$

Преобразуем его в виде

$p-\phi (p)=[x{\phi }^{\prime }(p)+{\psi }^{\prime }(p)]\frac{dp}{dx}$ $⟷$ $(2)$

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении $p=p_0$, удовлетворяющему условию $p_0-\phi (p_0)=0$. В самом деле, при любом постоянном значении $p$, производная $\frac{dp}{dx}$ тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значению $p=p_0$, то есть, $\frac{dy}{dx}=p_0$, является линейной функцией от $x$, поскольку производная $\frac{dy}{dx}$, постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство $(1)$ значение $p=p_0$, то есть

$y=x\phi (p_0)+\psi (p_0)$.

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение $(2)$ в виде

$\frac{dx}{dp}-x\frac{{\phi }^{\prime }(p)}{p-\phi (p)}=\frac{{\psi }^{\prime }(p)}{p-\phi (p)}$

и будем считать $x$, как функцию от $p$. Тогда полученное уравнение есть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции $x$ от $p$. Решая его, найдём

$x=\omega (p,C)$ $⟷$ $(3)$

Исключая параметр $p$ из уравнений $(1)$ и $(3)$ найдём общий интеграл уравнения $(1)$ в виде

$\mathrm{\Phi }(x,y,C)=0$.

Дифференциальное уравнение Клеро

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

$y=x{y}^{\prime }+\psi (y^{\prime })$ $⟷$ $(1)$

Такое уравнение носит название уравнения Клеро.

Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда $\phi (y^{\prime })=y^{\prime }$. Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра.

Положим $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=p$. Тогда

$y=xp+\psi (p)$ $⟷$ $(2)$

Продифференцируем это уравнение по $x$, так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что $p=\frac{dy}{dx}$, пишем

$p=x\frac{dp}{dx}+p+{\psi }^{\prime }(p)\frac{dp}{dx}$

Преобразуем его к виду

$[x+{\psi }^{\prime }(p)]\frac{dp}{dx}=0$

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим

$\frac{dp}{dx}=0$ $⟷$ $(3)$

и

$[x+{\psi }^{\prime }(p)]=0$ $⟷$ $(4)$

Интегрируя уравнение $(3)$ получим $p=C=const$. Подставим значение $p$ в уравнение $(2)$ найдём его общий интеграл

$y=xC+\psi (C)$ $⟷$ $(5)$

С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения $(4)$ найдём $p$ как функцию от $x$, затем подставим её в уравнение $(2)$, то получим функцию

$y=xp(x)+\psi [p(x)]$ $⟷$ $(6)$

Которая, как легко показать, является решением уравнения $(1)$. Действительно, в силу равенства $(4)$ находим

$\frac{dy}{dx}=p+[x+{\psi }^{\prime }(p)]\frac{dp}{dx}$

Но поскольку $[x+{\psi }^{\prime }(p)]\frac{dp}{dx}=0$, то $\frac{dy}{dx}=p$. Поэтому подставляя функцию $(6)$ в уравнение $(1)$, получаем тождество

$xp+\psi (p)=xp+\psi (p)$.

Решение $(6)$ не получается из общего интеграла $(5)$ ни при каком значении произвольной постоянной $C$. Это решение — есть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра $p$ из уравнений

$y=xp+\psi (p)$ и $x+{\psi }^{\prime }(p)=0$

или, что без разницы, исключением $C$ из уравнений

$y=xC+\psi (C)$ и $x+{\psi }^{\prime }(C)=0$

Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом $(5)$.

Приложения уравнения Клеро.

К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относиться к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид

$Y-y=y^{\prime }(X-x)$

или

$Y=y^{\prime }X+(y-x{y}^{\prime })$

Любое свойство касательной выражается соотношением между $(y-x{y}^{\prime })$ и $y^{\prime }$:

$\mathrm{\Phi }(y-x{y}^{\prime },y^{\prime })=0$

Решая его относительно $(y-x{y}^{\prime })$, придём к уравнению вида

$y=x{y}^{\prime }+\psi (y^{\prime })$, то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.

Литература

В. И. Смирнов «Курс высшей математики», том второй, издательство «Наука», Москва 1974.

Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», том второй, издательство «Наука», Москва 1985

К. Н. Лунгу, В. П. Норин и др. «Сборник задач по высшей математике», второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007

См. также

• Соотношение Клеро

Ссылки

• Мир математических уравнений
• Образовательный математический сайт «Exponenta.ru»
• Онлайн энциклопедия «Кругосвет»
• Оригинальный текст Клеро (1734)