Дифференциал (математика)

Шаблон:Значения Дифференциа́л (от Шаблон:Lang-la «разность, различие») — линейная часть приращения функции или ее аргумента.

Обозначения

Обычно дифференциал функции $f$ обозначается $df$. Некоторые авторы предпочитают обозначать $\mathrm{d}f$ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке $x_0$ обозначается $d_{x_0}f$, а иногда $d{f}_{x_0}$ или $df[x_0]$, а также $df$, если значение $x_0$ ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке $x_0$ от $h$ может обозначаться как $d_{x_0}f(h)$, а иногда $d{f}_{x_0}(h)$ или $df[x_0](h)$, а также $df(h)$, если значение $x_0$ ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

• Знак дифференциала используется в выражении для интеграла $\int f(x)dx$. При этом иногда (и не вполне корректно) дифференциал $dx$ вводится как часть определения интегралаШаблон:Нет АИ.
• Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной $f^{\prime }(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)$. Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов функции $f$ и тождественной функции $x$ верно соотношение:

  $d_{x_0}f=f^{\prime }(x_0)\cdot d_{x_0}x.$

Определения

Для функций

Дифференциал функции $f:ℝ\to ℝ$ в точке $x_0\in ℝ$ может быть определён как линейная функция

$d_{x_0}f(h)=f^{\prime }(x_0)h,$

где $f^{\prime }(x_0)$ обозначает производную $f$ в точке $x_0$, а $h$ — приращение аргумента при переходе от $x_0$ к $x_0+h$.

Таким образом $df$ есть функция двух аргументов $df:(x_0,h)\mapsto d_{x_0}f(h)$.

Дифференциал может быть определён напрямую, то есть, без привлечения определения производной, как функция $d_{x_0}f(h)$, линейно зависящая от $h$, и для которой верно следующее соотношение

$d_{x_0}f(h)=f(x_0+h)-f(x_0)+o(h),h\to 0.$

Для функции нескольких переменных

Дифференциалом отображения $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ в точке $x_0\in {ℝ}^n$ называют линейное отображение $d_{x_0}f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ такое, что выполняется условие

$d_{x_0}f(h)=f(x_0+h)-f(x_0)+o(h),h\to 0.$

Связанные определения

• Отображение $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ называется дифференцируемым в точке $x_0\in {ℝ}^n$, если определён дифференциал $d_{x_0}f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$.

Свойства

• Матрица линейного оператора $d_{x_0}f$ равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные $f$.
  • Отметим, что матрица Якоби может быть определена в точке, где дифференциал не определён.
• Дифференциал функции $f$ связан с её градиентом $\mathrm{\nabla }f$ следующим определяющим соотношением

  $d_{x_0}f(h)=⟨(\mathrm{\nabla }f)(x_0),h⟩$

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально $dx$ применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики, за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

Понятие дифференциала содержит в себе больше, чем просто дифференциал функции или отображения. Его можно обобщать, получая различные важные объекты в функциональном анализе, дифференциальной геометрии, теории меры, нестандартном анализе, алгебраической геометрии и так далее.

• Дифференциал (дифференциальная геометрия)
• Дифференциалы высших порядков
• Дифференциал Ито
• Внешний дифференциал
• Производная Пеано
• Производная Фреше
• Вариация функционала

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»