Вариация функционала

Вариация функционала, или первая вариация функционала, — обобщение понятия дифференциала функции одной переменной, главная линейная часть приращения функционала вдоль определенного направления. Понятие используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума. Именно такой смысл вкладывается в этот термин, начиная с работы 1762 года Ж. Лагранжа. Ж. Лагранж рассматривал по преимуществу функционалы классического вариационного исчисления (действие) вида:

$J(x)=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}L(t,x(t),\dot{x}(t))dt.(*)$

Формальное определение

Рассмотрим изменение функционала (*) от одной точки функционального пространства к другой (от одной функции к другой). Для этого сделаем замену $x(t)\mapsto x_1(t)-x(t)$ и подставим в выражение (*). При допущении о непрерывной дифференцируемости $L$ имеет место равенство, аналогичное выражению для дифференциала функции:

$J(x_1)=J(x)+J_1(\delta x)+\epsilon r(x,x_1),$

где остаточный член $|r(x,x_1)|\to 0$ — расстояние между функциями и $\epsilon \to 0$, а $\delta x(t)=x_1(t)-x(t)$. При этом линейный функционал $J_1(\delta x)$ называется (первой) вариацией функционала $J(x)$ и обозначают через $\delta J$.

Применительно к функционалу (*) для первой вариации имеет место равенство с точностью до величины порядка высшего, чем $|r(\delta x)|$:

$\delta J(x)=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}(L_x(t,x(t),\dot{x}(t))\delta x+p(t)\delta \dot{x})dt=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}(L_x(t,x(t),\dot{x}(t))-\dot{p}(t))\delta xdt+p(t)\delta x){|}_{t_0}^{t_1},$

где

$p(t)=L_{\dot{x}}(t,x(t),\dot{x}(t))$

- обобщённый импульс.

При этом $p(t)\delta x{|}_{t_0}^{t_1}=0$, поскольку $\delta x(t_0)=\delta x(t_1)=0.$

Равенство нулю первой вариации для всех $\delta x$ является необходимым условием экстремума функционала $J(x)$. Для функционала (*) из этого необходимого условия и основной леммы вариационного исчисления следует уравнение Эйлера:

$\dot{p}(t)=L_x(t,x(t),\dot{x}(t)).$

Аналогичным образом определяются вариации более высоких порядков.

Общее определение первой вариации в бесконечномерном анализе было дано французским математиком Шаблон:Нп3 в 1913 году. По сути своей определение Гато тождественно с определением Лагранжа.

Первая вариация функционала является однородным, но не обязательно линейным функционалом, вариация функционала при дополнительном предположении о линейности и непрерывности (по $\delta x$) выражения $\delta J(x,\delta x)$ обычно называется производной Гато. В современной математике термины «вариация Гато», «производная Гато», «дифференциал Гато» более употребимы, чем вариация функционала. При этом термин «вариация функционала» сохраняется лишь для функционалов классического вариационного исчисления.

Литература

• Шаблон:Книга