Основная лемма вариационного исчисления

Основная лемма вариационного исчисления (или лемма Лагранжа) даёт интегральное условие на функцию позволяющее заключить, что функция равна нулю. Известно несколько версий леммы; базовую версию легко сформулировать и доказать.

Базовая версия

Если непрерывная функция $f$ на открытом интервале $(a,b)$ удовлетворяет равенству

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\cdot h(x)dx=0$

для всех финитных гладких функций $h$ на $(a,b)$, тогда $f$ является тождественным нулёмШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Замечания

• Гладкость может означать что функция $f$ бесконечно дифференцируемаШаблон:Sfn, но чаще интерпретируется как то, что функция $f$ дважды непрерывно дифференцируема или даже непрерывно дифференцируема или даже просто непрерывнаШаблон:Sfn.
• Финитность означает, что $h$ обнуляется за пределами замкнутого интервала $[c,d]\subset (a,b)$, но часто достаточно условие того, что $h$ (или $h$ и ряд его производных) обращается в нуль на концах интервала $[a,b]$, в этом случае $h$ предполагается определённой на интервале $[a,b]$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга