Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции $z$ в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

$d^{n}z=d(d^{n-1}z)$ .

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной независимой переменной $z=f(x)$ второй и третий дифференциалы выглядят так:

$d^{2}z=d(dz)=d(z^{\prime }dx)=d{z}^{\prime }dx=(z^{″}dx)dx=z^{″}d{x}^2$,

$d^{3}z=d(d^{2}z)=d(z^{″}d{x}^2)=d{z}^{″}d{x}^2=(z^{‴}dx)d{x}^2=z^{‴}d{x}^3$.

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции $z=f(x)$, при условии, что $x$ — независимая переменная:

$d^{n}z=z^{(n)}d{x}^n$.

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что $dx$ есть произвольное и не зависящее от $x$ , которое при дифференцировании по $x$ следует рассматривать как постоянный множитель. Если $x$ не является независимой переменной, то дифференциал будет другим (см. ниже).

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция $z=f(x,y)$ имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: $d^{2}z=d(dz)$.

$d^{2}z=d(\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy)=(\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy){\text{'}}_{x}dx+(\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy){\text{'}}_{y}dy=$

$=(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}dx+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}dy)dx+(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}dx+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}dy)dy$

$d^{2}z=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}d{x}^2+2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}d{y}^2$

$d^{2}z={(\frac{\partial }{\partial x}dx+\frac{\partial }{\partial y}dy)}^{2}z$

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции $z=f(x_1,...,x_r)$ выглядит следующим образом:

$d^{n}z={(\frac{\partial }{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial }{\partial x_2}d{x}_2+...+\frac{\partial }{\partial x_r}d{x}_r)}^{n}z$

где $z=f(x_1,x_2,...x_r)$, а $d{x}_1,...,d{x}_r$ произвольные приращения независимых переменных $x_1,...,x_r$.
Приращения $d{x}_1,...,d{x}_r$ рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При $n⩾2$ $n$-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение $d^{n}f$ зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная $x$ как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, $x=\phi (t)$.

Так, для независимой переменной $x$ второй дифференциал, как было сказано выше, имеет вид:

$d^{2}z=z^{″}(dx{)}^2$

Если же переменная $x$ сама может зависеть от других переменных, то $d(dx)=d^{2}x\ne 0$. В этом случае формула для второго дифференциала будет иметь вид:

$d^{2}z=d(dz)=d(z^{\prime }dx)=z^{″}(dx{)}^2+z^{\prime }{d}^{2}x$.

Аналогично, третий дифференциал примет вид:

$d^{3}z=z^{‴}(dx{)}^3+3z^{″}dx{d}^{2}x+z^{\prime }{d}^{3}x$.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При $n=2$ и $y=f(x)=x^3$ :

• если $x$ — независимая переменная, то $d^{2}y=d^{2}f(x)=(x^3{)}^{″}(dx{)}^2=6x(dx{)}^2$
• если $x=\phi (t)=t^2$ и $dx=d\phi (t)={\phi }^{\prime }(t)dt=2tdt$
  1. $6x(dx{)}^2=6t^2(2tdt{)}^2=24t^4(dt{)}^2$
  2. при этом, $y=x^3=(t^2{)}^3=t^6$ и $d^{2}y=(t^6{)}^{″}(dt{)}^2=30t^4(dt{)}^2$

С учётом зависимости $x=t^2$, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Дополнения

• С помощью дифференциалов, функция $F$ при условии существования её $(n+1)$ первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:
  • для функции с одной переменной:

    $4F(x_0)=dF(x_0)+\frac{d^{2}F(x_0)}{2!}+...+\frac{d^{n}F(x_0)}{n!}+\frac{d^{n+1}F(x_0+\theta 4x)}{(n+1)!}$ , $(0<\theta <1)$;

  • для функции с несколькими переменными:

    $4F(x_0,y_0)=dF(x_0,y_0)+\frac{d^{2}F(x_0,y_0)}{2!}+...+\frac{d^{n}F(x_0,y_0)}{n!}+\frac{d^{n+1}F(x_0+\theta 4x,y_0+\theta 4y)}{(n+1)!}$ , $(0<\theta <1)$

• Если первый дифференциал равен нулю, а второй дифференциал функции $f(x_1,...,x_n)$ является Шаблон:Нп5 (отрицательно определённым), то точка $(x_1,...,x_n)$ является точкой строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же второй дифференциал функции $f(x_1,...,x_n)$ является неопределённым, то в точке $(x_1,...,x_n)$ нет экстремума.

Литература

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1