Дифференцирование сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Если функция $f$ имеет производную в точке $x_0$, а функция $g$ имеет производную в точке $y_0=f(x_0)$, то сложная функция $h(x)=g(f(x))$ также имеет производную в точке $x_0$.

Одномерный случай

Дифференцирование сложной функции

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, $f:U(x_0)\to V(y_0),$ где $y_0=f(x_0),$ и $g:V(y_0)\to ℝ$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in 𝒟(x_0),g\in 𝒟(y_0).$ Тогда их композиция также дифференцируема: $h=g\circ f\in 𝒟(x_0),$ и её производная имеет вид:

$h^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(f(x_0))\cdot f^{\prime }(x_0).$

Доказательство:

Так как $f\in 𝒟(x_0)$ дифференцируема, то можно записать её приращение как:

$\mathrm{\Delta }f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$

Где:

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }o(\mathrm{\Delta }x)=0$

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{o(\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}=0$

$\mathrm{\Delta }{y}_0=\mathrm{\Delta }f(x_0)$

И так как $g$ тоже дифференцируема, где $g\in 𝒟(y_0)$, то:

$\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }o(\mathrm{\Delta }y)=0$

$\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\frac{o(\mathrm{\Delta }y)}{\mathrm{\Delta }y}=0$

$\mathrm{\Delta }g(y_0)=g^{\prime }(y_0)\mathrm{\Delta }{y}_0+o(\mathrm{\Delta }y)=g^{\prime }(y_0)(f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x))+o(\mathrm{\Delta }y)$

Разделив обе части на $\mathrm{\Delta }x$ и $\mathrm{\Delta }x⟶0$, получаем:

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }g(y_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{g}^{\prime }(y_0)f^{\prime }(x_0)+g^{\prime }(y_0)\frac{o(\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{o(\mathrm{\Delta }y)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{g}^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)$

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции $y=y(x),$ где $x=x(t),$ принимает следующий вид:

$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}.$

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции $z=g(y)$ в точке $y_0$ имеет вид:

$dz=g^{\prime }(y_0)dy,$

где $dy$ — дифференциал тождественного отображения $y\to y_0$:

$dy(h)=h,h\in ℝ.$

Пусть теперь $y=f(x),x\in U(x_0),f\in 𝒟(x_0).$ Тогда $dy=f^{\prime }(x_0)dx$, и согласно цепному правилу:

$dz=g^{\prime }(f(x_0))\cdot f^{\prime }(x_0)dx=g^{\prime }(y_0)dy.$

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример

Пусть $h(x)={(3x^2-5x)}^7.$ Тогда функция $h$ может быть записана в виде композиции $h=g\circ f,$ где

$f(x)=3x^2-5x,$

$g(y)=y^7.$

Дифференцируя эти функции отдельно:

$f^{\prime }(x)=6x-5,$

$g^{\prime }(y)=7y^6,$

получаем

$h^{\prime }(x)=7(3x^2-5x{)}^6\cdot (6x-5).$

Многомерный случай

Пусть дана точка $t=(t_1,\dots ,t_n)\in {ℝ}^n$ и в этой точке заданы дифференцируемые функции $x_i={\phi }_i(t),i=\overline{1,m}$. Тогда функция $u=f(x_1,\dots ,x_m)$ дифференцируема в точке $t=(t_1,\dots ,t_n)$, и её частные производные по $t_i,i=\overline{1,n}$ выражаются следующим образом:

$\frac{\partial u}{\partial t_i}=\sum _{j=1}^m\frac{\partial u}{\partial x_j}\frac{\partial x_j}{\partial t_i}=\frac{\partial u}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial t_i}+\frac{\partial u}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t_i}+\dots +\frac{\partial u}{\partial x_m}\frac{\partial x_m}{\partial t_i}.$

Её дифференциал можно определить как:

$\mathrm{d}u=\sum _{k=1}^n{A}_k\mathrm{d}{t}_k$, где $A_k=\frac{\partial u}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial t_k}+\dots +\frac{\partial u}{\partial x_m}\frac{\partial x_m}{\partial t_k}$

В частности, матрица Якоби функции $u$ является произведением матриц Якоби функций $f$ и $x$:

$\frac{\partial (u_1,\dots ,u_n)}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}=\frac{\partial (u_1,\dots ,u_p)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}\cdot \frac{\partial (x_1,\dots ,x_n)}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}.$

Следствия

• Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

  $\left|\frac{\partial (u_1,\dots ,u_n)}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}\right|=\left|\frac{\partial (u_1,\dots ,u_p)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}\right|\cdot \left|\frac{\partial (x_1,\dots ,x_n)}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}\right|.$

Пример

Пусть дана функция трёх переменных $h(x,y,z)=\sin x+{\cos }^2(x+y+z)-\sqrt{2x^2+5y^3}$ и требуется найти её частную производную по переменной $x$. Функция $h$ может быть записана как $h(x,y,z)=f(u,v,w),$ где

$f(u,v,w)=u+v^2+w,$

$u(x,y,z)=\sin x,$

$v(x,y,z)=\cos (x+y+z),$

$w(x,y,z)=-\sqrt{2x^2+5y^3}.$

Тогда частная производная функции $h$ по переменной $x$ будет иметь следующий вид:

$\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}$

Вычисляем производные:

$\frac{\partial f}{\partial u}=1,\frac{\partial f}{\partial v}=2v,\frac{\partial f}{\partial w}=1,\frac{\partial u}{\partial x}=\cos x,\frac{\partial v}{\partial x}=-\sin (x+y+z),\frac{\partial w}{\partial x}=-\frac{2x}{\sqrt{2x^2+5y^3}}.$

Подставляем найденные производные:

$\frac{\partial h}{\partial x}=1\cdot \cos x+2\cdot (\cos (x+y+z))\cdot (-\sin (x+y+z))+1\cdot (-\frac{2x}{\sqrt{2x^2+5y^3}})$

В итоге

$\frac{\partial h}{\partial x}=\cos x-\sin (2x+2y+2z)-\frac{2x}{\sqrt{2x^2+5y^3}}.$

См. также

• Формула Фаа-ди-Бруно
• Производная функции