Формула Фаа-ди-Бруно

Формула Фаа-ди-Бруно является обобщением формулы дифференцирования сложной функции на производные более высоких порядков. Она была названа в честь итальянского математика и священника Франческо Фаа-ди-Бруно, благодаря которому она стала известна (примерно в 1855 году), хотя реально первооткрывателем этой формулы является Луи Франсуа Антони Арбогаст, который более чем за 50 лет до Фаа ди Бруно сделал первые публикации^[1] на эту тему.

Возможно, наиболее известна формула Фаа ди Бруно в следующем виде:

\frac{d^{n}}{d x^{n}} f (g (x)) = \sum \frac{n!}{m_{1}! 1!^{m_{1}} m_{2}! 2!^{m_{2}} \dots m_{n}! n!^{m_{n}}} \cdot f^{(m_{1} + \dots + m_{n})} (g (x)) \cdot \prod_{j = 1}^{n} (g^{(j)} (x))^{m_{j}},

где сумма по всем кортежам длины n из неотрицательных целых чисел (m₁, …, m_n), удовлетворяющих ограничению

1 \cdot m_{1} + 2 \cdot m_{2} + 3 \cdot m_{3} + \dots + n \cdot m_{n} = n .

Иногда, для лучшего запоминания, формула записывается в виде

\frac{d^{n}}{d x^{n}} f (g (x)) = \sum \frac{n!}{m_{1}! m_{2}! \dots m_{n}!} \cdot f^{(m_{1} + \dots + m_{n})} (g (x)) \cdot \prod_{j = 1}^{n} {(\frac{g^{(j)} (x)}{j!})}^{m_{j}},

однако это снижает очевидность комбинаторной интерпретации.

Суммируя члены с фиксированным значением m₁ + m₂ + … + m_n = k и заметив, что m_j должен быть равен нулю при j > n − k + 1, можно прийти к несколько более простой формуле, выраженной через полиномы Белла B_n,k(x₁, …, x_n−k+1):

\frac{d^{n}}{d x^{n}} f (g (x)) = \sum_{k = 1}^{n} f^{(k)} (g (x)) \cdot B_{n, k} (g^{'} (x), g^{″} (x), \dots, g^{(n - k + 1)} (x)) .

Комбинаторная форма

Формула имеет следующий комбинаторный вид:

\frac{d^{n}}{d x^{n}} f (g (x)) = (f \circ g)^{(n)} (x) = \sum_{π \in Π} f^{(| π |)} (g (x)) \cdot \prod_{B \in π} g^{(| B |)} (x),

где

π принимает значения из множества Π всех разбиений множества { 1, …, n },

B ∈ π означает, что переменная B пробегает части разбиения π,

|A| обозначает мощность множества A (таким образом, |π| — это количество блоков в разбиении π, |B| — размер блока B).

Пример

Комбинаторный вид формулы может первоначально показаться сложным, поэтому рассмотрим конкретный случай:

\begin{matrix} (f \circ g)^{⁗} (x) & = f^{⁗} (g (x)) g^{'} (x)^{4} + 6 f^{‴} (g (x)) g^{″} (x) g^{'} (x)^{2} + \\ + 3 f^{″} (g (x)) g^{″} (x)^{2} + 4 f^{″} (g (x)) g^{‴} (x) g^{'} (x) + \\ + f^{'} (g (x)) g^{⁗} (x) . \end{matrix}

Все действия выполняются по следующем образцу:

\begin{matrix} g^{'} (x)^{4} & \leftrightarrow & 1 + 1 + 1 + 1 & \leftrightarrow & f^{⁗} (g (x)) & \leftrightarrow & 1, \\ g^{″} (x) g^{'} (x)^{2} & \leftrightarrow & 2 + 1 + 1 & \leftrightarrow & f^{‴} (g (x)) & \leftrightarrow & 6, \\ g^{″} (x)^{2} & \leftrightarrow & 2 + 2 & \leftrightarrow & f^{″} (g (x)) & \leftrightarrow & 3, \\ g^{‴} (x) g^{'} (x) & \leftrightarrow & 3 + 1 & \leftrightarrow & f^{″} (g (x)) & \leftrightarrow & 4, \\ g^{⁗} (x) & \leftrightarrow & 4 & \leftrightarrow & f^{'} (g (x)) & \leftrightarrow & 1 . \end{matrix}

Множитель $g^{″} (x) g^{'} (x)^{2}$ очевидным образом соответствует разбиению 2 + 1 + 1 числа 4 (порядок производной). Его сомножитель $f^{‴} (g (x))$ показывает, что имеется 3 слагаемых в этом разбиении. Наконец, коэффициент 6 означает, что существует ровно 6 разбиений множества из 4 элементов, в которых одна часть содержит два элемента и две части — по одному.

По аналогии, множитель $g^{″} (x)^{2}$ в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 числа 4, а $f^{″} (g (x))$ указывает на то, что в этом разбиении должно быть 2 слагаемых . Коэффициент 3 говорит, что есть только $\frac{1}{2} (\binom{4}{2}) = 3$ способа разбить 4 элемента на группы размера 2.

Остальные члены формулы интерпретируется аналогично.

Комбинаторная интерпретация коэффициентов

Коэффициенты формулы Фаа-ди-Бруно можно выразить в замкнутом виде. Количество разбиений множества размера n, соответствующих разбиению числа n:

n = \underset{m_{1}}{\underset{⏟}{1 + \dots + 1}} + \underset{m_{2}}{\underset{⏟}{2 + \dots + 2}} + \underset{m_{3}}{\underset{⏟}{3 + \dots + 3}} + \dots

равно

\frac{n!}{m_{1}! m_{2}! m_{3}! \dots 1!^{m_{1}} 2!^{m_{2}} 3!^{m_{3}} \dots} .

Эти коэффициенты также возникают в полиномах Белла, которые имеют отношение к изучению кумулянтов.

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

↑ Шаблон:Книга

[1] Шаблон:Книга

[1]

Формула Фаа-ди-Бруно

Содержание

Комбинаторная форма

Пример

Комбинаторная интерпретация коэффициентов

Примечания

Ссылки

Навигация

Формула Фаа-ди-Бруно

Комбинаторная форма

Пример

Комбинаторная интерпретация коэффициентов

Примечания

Ссылки

Навигация

Поиск