Производная Фреше

Произво́дная Фреше́ (сильная производная) — обобщение понятия производной на бесконечномерные банаховы пространства. Название дано в честь французского математика Мориса Фреше.

Определение

Пусть $F:X\to Y$ — оператор, действующий из некоторого вещественного банахова пространства $X$ в вещественное банахово пространство $Y$.

Производной Фреше оператора $F$ в точке $x\in X$ называется ограниченный линейный оператор $A:X\to Y$, такой, что для любого $h\in X$ выполняется следующее равенство:

$F(x+h)-F(x)=Ah+r_0(x,h),$

причем для остаточного члена $r_0(x,h)$ верно соотношение:

$\frac{\Vert r_0(x,h){\Vert }_Y}{\Vert h{\Vert }_X}\to 0$ при $\Vert h{\Vert }_X\to 0.$

Если производная Фреше существует, то оператор $F$ называется сильно дифференцируемым. Линейная часть приращения $Ah$ в таком случае именуется дифференциалом Фреше функции $F$.

Можно показать, что производная Фреше, в том случае, когда она существует, совпадает с производной Гато.

Свойства

Пусть $f,g:G\to Y$ — отображения нормированных пространств. Тогда производная Фреше удовлетворяет:

• $(f+g{)}^{\prime }(\phi )=f^{\prime }(\phi )+g^{\prime }(\phi )$
• $(\lambda f{)}^{\prime }(\phi )=\lambda f^{\prime }(\phi )$, где λ — некий скаляр из поля над которым определены нормированные пространства.
• $(f\circ g{)}^{\prime }(\phi )=(f^{\prime }\circ g)(\phi )g^{\prime }(\phi )$.

См. также

• Производная (обобщения)
• Производная Гато

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
• Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление — Любое издание.