Дифференциал (дифференциальная геометрия)

Шаблон:Значения Дифференциа́л (от Шаблон:Lang-la — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Обозначения

Обычно дифференциал $f$ обозначается $df$. Некоторые авторы предпочитают обозначать $\mathrm{d}f$ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке $x$ обозначается $d_{x}f$, а иногда $d{f}_x$ или $df[x]$. ($d_{x}f$ есть линейная функция на касательном пространстве в точке $x$.)

Если $v$ есть касательный вектор в точке $x$, то значение дифференциала на $v$ обычно обозначается $df(v)$, в этом обозначении $x$ излишне, но обозначения $d_{x}f(v)$, $d{f}_x(v)$ и $df[x](v)$ также правомерны.

Используется так же обозначение $f_{*}$; последнее связано с тем, что дифференциал $f:M\to N$ является естественным поднятием $f$ на касательные расслоения к многообразиям $M$ и $N$.

Определения

Для вещественнозначных функций

Пусть $M$ — гладкое многообразие и $f:M\to ℝ$ гладкая функция. Дифференциал $f$ представляет собой 1-форму на $M$, обычно обозначается $df$ и определяется соотношением

$df(X)=d_{p}f(X)=Xf,$

где $Xf$ обозначает производную $f$ по направлению касательного вектора $X$ в точке $p\in M$.

Для отображений гладких многообразий

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие $F:M\to N$ есть отображение между их касательными расслоениями, $dF:TM\to TN$, такое что для любой гладкой функции $g:N\to ℝ$ имеем

$[dF(X)]g=X(g\circ F),$

где $Xf$ обозначает производную $f$ по направлению $X$. (В левой части равенства берётся производная в $N$ функции $g$ по $dF(X)$; в правой — в $M$ функции $g\circ F$ по $X$).

Это понятие естественным образом обобщает понятия дифференциала функции.

Связанные определения

• Точка $x$ многообразия $M$ называется критической точкой отображения $f:M\to N$, если дифференциал $d_{x}f:T_{x}M\to T_{f(x)}N$ не является сюръективным (см. также теорема Сарда)
  • Например, критические точки функций $ℝ\to ℝ$ — в точности стационарные точки. Для функций $ℝ\to ℝ$ это точки, в которых матрица дифференциала вырождается.
  • В этом случае $f(x)$ называется критическим значением $f$.
  • Точка $y\in N$ называется регулярной, если она не является критической.
• Гладкое отображение $F:M\to N$ называется субмерсией, если для любой точки $x\in M$, дифференциал $d_{x}F:T_{x}M\to T_{F(x)}N$ сюръективен.
• Гладкое отображение $F:M\to N$ называется гладким погружением, если для любой точки $x\in M$, дифференциал $d_{x}F:T_{x}M\to T_{F(x)}N$ инъективен.

Свойства

• Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:

  $d(F\circ G)=dF\circ dG$ или $d_x(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G$

Примеры

• Пусть в открытом множестве $\mathrm{\Omega }\subset ℝ$ задана гладкая функция $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$. Тогда $df=f^{\prime }dx$, где $f^{\prime }$ обозначает производную $f$, а $dx$ является постоянной формой, определяемой $dx(V)=V$.
• Пусть в открытом множестве $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ задана гладкая функция $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$. Тогда $df=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i$. Форма $d{x}_i$ может быть определена соотношением $d{x}_i(V)=v_i$, для вектора $V=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$.
• Пусть в открытом множестве $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ задано гладкое отображение $F:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m$. Тогда

  $d_{x}F(v)=J(x)v,$

где $J(x)$ есть матрица Якоби отображения $F$ в точке $x$.

См. также

• Кодифференциал