Теорема Сарда

Материал из testwiki
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Сарда — теорема математического анализа с приложениями в дифференциальной геометрии и топологии, теории катастроф и теории динамических систем.[1]

Названа в честь американского математика Шаблон:Iw.[2] В некоторых источниках называется теоремой Бертини — Сарда,[3] а также иногда связывается с именами Энтони Морса (им получен более ранний частный результат)[4] и Шломо Стернберга (более поздний, но более общий результат)[5].

Формулировка

Пусть U — открытое множество в пространстве ℝm и f:U→ℝn — гладкая функция класса Ck, где число k⩾1. Пусть S⊂U — множество критических точек функции f. Если k⩾m−n+1, то множество критических значений f(S) является множеством меры нуль (в смысле меры Лебега) в пространстве ℝn.

Замечания

  • Как показал Х. Уитни, степень гладкости k здесь не может быть уменьшена ни при каких сочетаниях m и n.[6][7]
  • Верен также аналог теоремы Сарда с категорией Бэра, то есть в тех же предположениях множество критических значений имеет первую категорию Бэра.

Пример

Рассмотрим тождественно постоянную функцию f≡f0. Все точки её области определения U являются критическими, следовательно, S=U. Однако множество критических значений f(S) состоит из единственной точки f0, и следовательно, имеет нулевую меру Лебега.

Вариации и обобщения

Лемма Сарда

Шаблон:Рамка Мера множества критических значений C1-гладкой функции f:[a,b]→ℝ1 равна нулю. Шаблон:Конец рамки Доказательство. Без ограничения общности будем считать отрезок [a,b]=[0,1]. Выберем число ε>0 и разобьём отрезок [0,1] на n равных частей так, чтобы на каждой из них колебание производной f′ не превосходило ε. Это можно сделать в силу того, что по условию леммы, функция f′ непрерывна на отрезке [0,1], и следовательно (Теорема о равномерной непрерывности), равномерно непрерывна на нём, т. е. ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x1,x2∈[0,1]: |x1−x2|<δ⇒|f′(x1)−f′(x2)|<ε.

Обозначим через Δi те отрезки (части сделанного выше разбиения), которые содержат хотя бы одну критическую точку функции f, т. е. ∃ξi∈Δi : f′(ξi)=0. Очевидно, что для таких отрезков справедлива оценка |f′(x)|⩽ε для всех x∈Δi, и следовательно (Формула конечных приращений), для любых двух точек y1,y2∈f(Δi) выполнено неравенство |y1−y2|⩽maxx∈Δi|f′(x)|⋅|Δi|⩽ε/n.

Покроем каждое множество f(Δi) интервалом длины 2⋅ε/n, тогда мы получим покрытие множества всех критических значений интервалами, сумма длин которых не превосходит 2⋅ε/n⋅n=2⋅ε. В силу произвольности выбора числа ε это означает, что мера множества критических значений равна нулю.

Теорема Дубовицкого

Пусть Mm и Nn — два гладких многообразия положительных размерностей m и n и f:Mm→Nn — гладкая функция класса Ck, где k⩾1. Точка x∈Mm называется неправильной, если ранг матрицы Якоби функции f в ней меньше n. Точка y∈Nn называется неправильной, если y=f(x) хотя бы для одной неправильной точки x∈Mm. В случае m⩾n понятие неправильной точки совпадает с понятием критической точки функции. В случае m<n все точки многообразия Mm являются неправильными. Шаблон:Рамка Если число k⩾m−n+1, то множество неправильных точек отображения f в многообразии Nn имеет первую категорию по Бэру, то есть является конечным или счётным объединением компактных множеств, нигде не плотных в Nn. Шаблон:Конец рамки Эта теорема была доказана советским математиком А. Я. Дубовицким[8][9][10].

Другие аналоги

Литература

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
  • Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
  • Иванов С. В. Некоторые геометрические неравенства и теоремы жесткости. Лекция 2
  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
  • Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир, 1968.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения, — Любое издание.
  • Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps, — Bull. Amer. Math. Soc., 48 (1942), pp. 883—890.
  • Sternberg S. Lectures on differential geometry, — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
  • Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий. — М.: Наука, 1985. — 176 c.

Примечания

Шаблон:Примечания

  1. ↑ Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, параграф 10.
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, параграф 2.
  4. ↑ Morse A.P. The behaviour of a function on its critical set. — Annals of Mathematics, vol. 40, N 1 (1939), pp. 62—70.
  5. ↑ Sternberg S. Lectures on differential geometry.
  6. ↑ Зорич В. А. Математический анализ, том II, глава XI, параграф 5.
  7. ↑ Whitney H. A function not constant on a connected set of critical points, — Duke Math. J., 1 (1935), 514—517.
  8. ↑ Дубовицкий А. Я. О дифференцируемых отображениях n-мерного куба в k-мерный куб. Матем. сб., 1953, 32(74):2, с. 443—464.
  9. ↑ Дубовицкий А. Я. О структуре множеств уровня дифференцируемых отображений n-мерного куба в k-мерный куб. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1957, 21:3, с. 371—408.
  10. ↑ Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, — Любое издание.
  11. ↑ Smale S. An Infinite Dimensional Version of Sard’s Theorem, — American Journal of Mathematics, vol. 87, N 4 (1965), pp. 861—866.
  12. ↑ Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sard’s theorem for mappings in Holder and Sobolev spaces, — Manuscripta Math., 118 (2005), pp. 383—397.
  13. ↑ Коробков М. В. Об одном аналоге теоремы Сарда для C1-гладких функций двух переменных, — Сибирский математический журнал, 2006, 47:5, с. 1083—1091.
Источник — https://ru.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Теорема_Сарда&oldid=8685