Пространство Соболева

Пространство Соболева — функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега $L^p(Q)$, имеющих обобщённые производные заданного порядка $k$ оттуда же.

При $1⩽p⩽\mathrm{\infty }$ пространства Соболева $W_p^k(Q)$ являются банаховыми пространствами, а при $p=2$ — гильбертовыми пространствами. Для гильбертовых пространств Соболева также принято обозначение $H^k(Q)=W_2^k(Q)$.

Пространства Соболева были введены советским математиком Сергеем Львовичем Соболевым и впоследствии названы его именем.

Определение

Для области $Q\subset R^n$ норма в соболевском пространстве $W_p^k(Q)$ порядка $k⩾1$ и суммируемых со степенью $1⩽p<\mathrm{\infty }$ вводится по следующей формуле:

$\Vert u{\Vert }_{W_p^k(Q)}={(\sum _{|\alpha |⩽k}\underset{Q}{\int }|D^{\alpha }u{|}^{p}dx)}^{1/p},$

а при $p=\mathrm{\infty }$ норма выглядит следующим образом:

$\Vert u{\Vert }_{W_{\mathrm{\infty }}^k(Q)}=\sum _{|\alpha |⩽k}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup |D^{\alpha }u|,$

где $\alpha$ — это мультииндекс, а операция $D^{\alpha }$ есть обобщённая производная по мультииндексу.

Пространство Соболева $W_p^k(Q)$ определяется как пополнение гладких функций в $W_p^k(Q)$-норме.

Примеры

Пространства Соболева имеют существенные отличия от пространств непрерывно дифференцируемых функций.

Пример разрывной функции

Пусть $Q=\{x\in R^2:|x|<1/2\}$ — круг на плоскости. Функция $u(x)=\ln |\ln |x||$ принадлежит пространству $H^1(Q)$, но имеет разрыв второго рода в точке $x=0$.

Пространства Соболева в одномерном случае

Функции из пространства $H^1(a,b)$ являются непрерывными. Для любых двух функций из пространства $H^1(a,b)$ произведение этих функций также принадлежит $H^1(a,b)$. Поэтому соболевское пространство первого порядка на отрезке является банаховой алгеброй.

Свойства

• Для любой области $Q^{\prime }\subset Q$ из $f\in W_p^k(Q)$ следует, что $f\in W_p^k(Q^{\prime })$.
• Если $f\in W_p^k(Q)$ и $a\in C^k(\bar{Q})$, то $af\in W_p^k(Q)$.
• Если $f\in W_p^k(Q)$ финитная в $Q$, то продолжение этой функции нулем принадлежит $W_p^k(Q^{\prime })$ для любой $Q\subset Q^{\prime }$.
• Пусть $y=y(x)$ есть гладкое и взаимно однозначное отображение области $Q$ на область $\mathrm{\Omega }$ и $F\in W_p^k(\mathrm{\Omega })$, тогда функция $f(x)=F(y(x))$ принадлежит пространству $W_p^k(Q)$.
• Пространства Соболева $W_p^k(Q)$ являются сепарабельными пространствами.
• Если граница области $Q$ удовлетворяет условию Липшица, то множество $C^{\mathrm{\infty }}(\bar{Q})$ плотно в $W_p^k(Q)$.
• Пусть $u,v\in W_p^k(Q)$, где $Q$ — ограниченная область в $R^n$, звездная относительно некоторого шара. Если $kp>n$, то их поточечное произведение $uv$, определенное почти всюду в $Q$, принадлежит пространству $W_p^k(Q)$, более того, существует положительная константа $C$, зависящая только от $k,n,p$ такая, что

$\Vert uv{\Vert }_{W_p^k}\le C\Vert u{\Vert }_{W_p^k}\Vert v{\Vert }_{W_p^k}$, иными словами, $W^{k,p}(Q)$ является коммутативной банаховой алгеброй, умножение в которой согласовано с нормой $\Vert u{\Vert }_{W_p^k(Q{)}^{*}}=C\Vert u{\Vert }_{W_p^k(Q)}$.

• Пространства $W_p^k(Q)$ при $1<p<\mathrm{\infty }$ являются рефлексивными пространствами.
• Пространства $W_2^k(Q)=H^k(Q)$ являются гильбертовыми пространствами.

Теоремы вложения

Предполагая, что граница области $Q\subset R^n$ удовлетворяет достаточным условиям гладкости, имеют место следующие теоремы вложения.

Теорема вложения Соболева

Если $k+n/p<s$, то имеет место непрерывное вложение

$W_p^s(Q)\subset C^k(\bar{Q})$.

Здесь $k$ предполагается целым и неотрицательным, а $s$ может быть и дробным (пространства Соболева дробного порядка). Эта теорема играет важнейшую роль в теории функциональных пространств и дифференциальных уравнений в частных производных.

Теорема Реллиха — Кондрашова

Пусть область $Q$ ограничена, $s_1>s_2$, $1<p_1,p_2<\mathrm{\infty }$ и $n(1/p_1-1/p_2)<s_1-s_2$, тогда: вложение $W_{p_1}^{s_1}(Q)\subset W_{p_2}^{s_2}$ вполне непрерывно.

С помощью теорем о компактности вложения пространств Соболева доказываются многие теоремы существования для дифференциальных уравнений в частных производных.

История

Идея об обобщении решений дифференциальных уравнений в частных производных начинает проникать в математическую физику в 20-х годах XX века. С одной стороны, необходимость в расширении классов функций возникает в многомерных вариационных задачах, а с другой, — при исследовании волнового уравнения и уравнений гидродинамики. В этих задачах классы непрерывных функций оказались недостаточными.

В работе Фридрихса 1934 года при исследовании минимума квадратичного функционала были введены классы функций, которые совпадают с пространствами Соболева $H_0^1(Q)$ — пространствами Соболева первого порядка, имеющими нулевой след на границе области. Однако в этих работах (так называемых прямых вариационных задачах) ещё не было понимания того, что соболевские пространства второго порядка являются классом корректности для эллиптических краевых задач, соответствующих вариационным задачам. В 1936 году в основополагающей работе Соболева вводятся обобщённые решения основных видов линейных уравнений в частных производных второго порядка (волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности) из классов функций, которые впоследствии были названы пространствами Соболева. В этих работах обобщённые решения понимаются как пределы классических решений, причем пределы рассматриваются в классах интегрируемых функций. Такое расширение понятий решений позволяет исследовать задачи с весьма общими правыми частями и коэффициентами уравнений.

В 1930-х годах начинается всестороннее исследование пространств Соболева. Наиболее важными были работы Реллиха о компактности вложения (теорема Реллиха — Гординга) и теоремы о вложении (теоремы Соболева и Соболева — Кондрашова). Эти теоремы позволили строить обобщённые решения для многих задач математической физики, а также установить связь с классами непрерывных функций.

В 1940-х годах Ладыженской было предложено определять обобщённые решения с помощью интегральных тождеств для функций из пространств Соболева. Использование интегральных тождеств оказалось крайне удобным подходом для исследования разрешимости и гладкости решений уравнений в частных производных. В настоящее время определение обобщённых решений через интегральные тождества является стандартным методом постановки задач.

Пространства Соболева имеют принципиальное значение не только в теории дифференциальных уравнений с частными производными, но и в вариационных задачах, теории функций, теории приближений, численных методах, теории управления и многих других разделах анализа и его приложений.

Вариации и обобщения

Пространства Соболева $H_0^k(Q)$

В краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных важную роль играют пространства функций из пространства Соболева, имеющих нулевые граничные условия. Эти пространства обозначаются через $H_0^k(Q)$ и вводятся как замыкания множества $C_0^{\mathrm{\infty }}(Q)$ по норме пространства $H^k(Q)$, где $C_0^{\mathrm{\infty }}(Q)$ есть множество финитных в $Q$ бесконечно дифференцируемых функций.

Пространства $H_0^k(Q)$ являются замкнутыми подпространствами в $H^k(Q)$. При наличии определенной гладкости границы области $Q$ это пространство совпадает с множеством функций из $H^k(Q)$, имеющих нулевой след на границе области $Q$ и нулевой след всех обобщённых производных вплоть до $k-1$-го порядка.

Пространства Соболева во всем пространстве

Пространства Соболева $H^s(R^n)$ можно определить с помощью преобразования Фурье. Для любой функции $f(x)\in L^2(R^n)$ определено преобразование Фурье $\hat{f}(\omega )=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-ix\cdot \omega }dx$, причем, $\hat{f}(\omega )\in L^2(R^n)$. Пространство Соболева $H^s(R^n)$ определяется следующим образом:

$H^s(R^n)=\{f\in L^2(R^n):(1+|\omega {|}^2{)}^{s/2}\hat{f}(\omega )\in L^2(R^n)\}$.

Пространства Соболева на торе

Пусть $T^n$ — $n$-мерный тор. Пространство Соболева на торе $T^n$, то есть $2\pi$-периодических по всем переменным функций, можно определить с помощью многомерных рядов Фурье:

$H^k(T^n)=\{f\in L^2(T^n):\sum _{m_1,\dots ,m_n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(1+m_1^{2k}+m_2^{2k}+\dots +m_n^{2k})|f_{m_1{m}_2\dots m_n}{|}^2<\mathrm{\infty }\}$.

Пространства Соболева дробного порядка

Чтобы избежать путаницы, нецелочисленное k будем обычно обозначать как s, то есть $W_p^s$ или $H^s$.

В случае 0<s<1 пространство $W_p^s$ состоит из функций $f\in L^p(Q)$, $Q\subset R^n$ таких, что

$\Vert f{\Vert }_{W_p^s}={(\Vert f{\Vert }_{L^p(Q)}^p+\underset{Q}{\int }\frac{|f(x)-f(y){|}^p}{|x-y{|}^{n+ps}}dxdy)}^{1/p}.$

Для нецелого s>1 положим $s=[s]+\sigma$, где $[s]$ — целая часть s. Тогда $W_p^s(Q)$ состоит из элементов $W_p^{[s]}(Q)$ таких, что $D^{\alpha }f\in W_p^{\sigma }(Q)$ для $|\alpha |=[s]$ с нормой

$\Vert f{\Vert }_{W_p^s}={(\Vert f{\Vert }_{W_p^{[s]}(Q)}^p+\sum _{|\alpha |=[s]}\Vert D^{\alpha }f{\Vert }_{W_p^{\sigma }(Q)}^p)}^{1/p}.$

Пространства Соболева отрицательного порядка

При рассмотрении обобщённых решений дифференциальных уравнений в частных производных естественным образом возникают пространства Соболева отрицательного порядка. Пространство $H^{-k}(Q)$ определяется по формуле:

$H^{-k}(Q)=(H_0^k(Q))$

где штрих означает сопряженное пространство. При этом мы получаем, что пространства Соболева отрицательного порядка представляют собой пространство обобщённых функций. Так, например, пространство $H^{-1}(-1,1)$ содержит $\delta$-функцию Дирака.

Литература

• Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
• Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
• R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
• Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976