Мультииндекс

Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.

Математическая запись мультииндекса

n-мерный мультииндекс — это вектор

$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n),$

составленный из неотрицательных чисел. Для двух мультииндексов $\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}_0^n$ и вектора $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$ вводятся:

• Покомпонентное сложение и вычитание

$\alpha \pm \beta =({\alpha }_1\pm {\beta }_1,{\alpha }_2\pm {\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n\pm {\beta }_n)$

• Частичная упорядоченность

$\alpha \le \beta \iff {\alpha }_i\le {\beta }_i\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}$

• Абсолютное значение как сумма компонентов

$|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$

• Факториал

$\alpha !={\alpha }_1!\cdot {\alpha }_2!\cdots {\alpha }_n!$

• Биномиальный коэффициент

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_1}{{\beta }_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_2}{{\beta }_2})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_n}{{\beta }_n})$

• Возведение в степень

$x^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\dots x_n^{{\alpha }_n}$

• Старшая частная производная

${\partial }^{\alpha }=\underset{1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\underset{2}{\overset{{\alpha }_2}{\partial }}\dots \underset{n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}$ где $\underset{i}{\overset{{\alpha }_i}{\partial }}:={\partial }^{{\alpha }_i}/\partial x_i^{{\alpha }_i}$

Некоторые приложения

Использование мультииндекса позволяет без проблем расширить многие формулы классического анализа на многомерный случай. Вот некоторые примеры:

Мультиномиальные коэффициенты

Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:

$(\sum _{i=1}^n{x}_i{)}^k=\sum _{|\alpha |=k}\frac{k!}{\alpha !}{x}^{\alpha }$

Формула Лейбница

Для гладких функций f и g

${\partial }^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \le \alpha }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\nu }){\partial }^{\nu }f{\partial }^{\alpha -\nu }g.$

Разложение в ряд Тейлора

Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение

$f(x+h)=\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}_0^n}^{}\frac{{\partial }^{\alpha }f(x)}{\alpha !}{h}^{\alpha }.$

Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора

$f(x+h)=\sum _{|\alpha |\le n}\frac{{\partial }^{\alpha }f(x)}{\alpha !}{h}^{\alpha }+R_n(x,h),$

где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим

$R_n(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}\frac{h^{\alpha }}{\alpha !}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-t{)}^n{\partial }^{\alpha }f(x+th)dt.$

Оператор дифференцирования

Формальный оператор взятия частной производной N-го порядка в n-мерном пространстве записывается следующим образом:

$P(\partial )=\sum _{|\alpha |\le N}{a}_{\alpha }(x){\partial }^{\alpha }.$

Интегрирование по частям

Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ имеем:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u({\partial }^{\alpha }v)dx=(-1{)}^{|\alpha |}\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}({\partial }^{\alpha }u)vdx.$

Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных.

Пример использования в теореме

Если $\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}_0^n$ — это мультииндексы и $x=(x_1,\dots ,x_n)$, то

${\partial }^{\alpha }{x}^{\beta }=\{\begin{array}{cc}\frac{\beta !}{(\beta -\alpha )!}{x}^{\beta -\alpha }& \text{if}\alpha \le \beta ,\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

Доказательство

Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:

$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}{x}^{\beta }=\{\begin{array}{cc}\frac{\beta !}{(\beta -\alpha )!}{x}^{\beta -\alpha }& \text{if}\alpha \le \beta ,\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}(1)$

Положим $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$, $\beta =({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)$ и $x=(x_1,\dots ,x_n)$. Тогда

$\begin{array}{cc}{\partial }^{\alpha }{x}^{\beta }& =\frac{{\partial }^{|\alpha |}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}}{x}_1^{{\beta }_1}\cdots x_n^{{\beta }_n}\\ & =\frac{{\partial }^{{\alpha }_1}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}}{x}_1^{{\beta }_1}\cdots \frac{{\partial }^{{\alpha }_n}}{\partial x_n^{{\alpha }_n}}{x}_n^{{\beta }_n}.\end{array}$

Здесь каждое дифференцирование $\partial /\partial x_i$ сводится к соответствующей обыкновенной производной $d/d{x}_i$, так как для каждого i из {1, . . ., n}, функция $x_i^{{\beta }_i}$ зависит только от $x_i$. Поэтому из уравнения (1) следует, что ${\partial }^{\alpha }{x}^{\beta }$ исчезает как только α_i > β_i для хотя бы одного i из {1, . . ., n}.В противном случае (когда α ≤ β) получаем

$\frac{d^{{\alpha }_i}}{d{x}_i^{{\alpha }_i}}{x}_i^{{\beta }_i}=\frac{{\beta }_i!}{({\beta }_i-{\alpha }_i)!}{x}_i^{{\beta }_i-{\alpha }_i}$

для каждого $i$.$◻$

Ссылки

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

Эта статья использует материалы со страницы multi-index derivative of a power на PlanetMath, которая имеет лицензию CC-BY-SA.