Формула Лейбница (производной произведения)

Шаблон:Значения Формула Лейбница для $n$-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай $n$-кратного дифференцирования.

Пусть функции $f(z)$ и $g(z)$ — $n$ раз дифференцируемые функции, тогда

${(f\cdot g)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{f}^{(n-k)}{g}^{(k)},$ где $C_n^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Примеры

При $n=1$ получается известное правило производной произведения:

$(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }.$

В случае $n=2$ имеем:

$(f\cdot g{)}^{″}=\sum _{k=0}^2{C}_2^k{f}^{(2-k)}{g}^{(k)}=f^{″}g+2f^{\prime }{g}^{\prime }+f{g}^{″}.$

В случае $n=3$:

$(f\cdot g{)}^{‴}=\sum _{k=0}^3{C}_3^k{f}^{(3-k)}{g}^{(k)}=f^{‴}g+3f^{″}{g}^{\prime }+3f^{\prime }{g}^{″}+f{g}^{‴}.$

В случае $n=4$:

$(f\cdot g{)}^{(4)}=\sum _{k=0}^4{C}_4^k{f}^{(4-k)}{g}^{(k)}=f^{(4)}g+4f^{(3)}{g}^{(1)}+6f^{(2)}{g}^{(2)}+4f^{(1)}{g}^{(3)}+f{g}^{(4)}.$

Доказательство и обобщение

Доказательство формулы осуществляется по индукции с использованием правила произведения. В мультииндексной записи формула может быть записана в более общем виде:

${\partial }^{\alpha }(fg)=\sum _{\{\beta :\beta \le \alpha \}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })({\partial }^{\alpha -\beta }f)({\partial }^{\beta }g).$

Эта формула может быть использована для получения выражения для композиции дифференциальных операторов. В самом деле, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируемы достаточное число раз) и $R=P\circ Q$. Если R также является дифференциальным оператором, то справедливо равенство:

$R(x,\xi )=e^{-⟨x,\xi ⟩}R(e^{⟨x,\xi ⟩}).$

Непосредственное вычисление дает:

$R(x,\xi )=\sum _{\alpha }\frac{1}{\alpha !}{\left(\frac{\partial }{\partial \xi }\right)}^{\alpha }P(x,\xi ){\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{\alpha }Q(x,\xi ).$

Эта формула также известна как формула Лейбница.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга