Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора — его использовали ещё в XIV веке в Индии, а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Определение

1. Многочленом Тейлора функции $f(x)$ вещественной переменной $x$, дифференцируемой $k$ раз в точке $a$, называется конечная сумма

$\sum _{n=0}^k\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\dots +\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$,

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при $x-a=h\to 0$ верно $f(x)=f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)\cdot h+O(h^2)\approx f(a)+f^{\prime }(a)\cdot h=f(a)+f^{\prime }(a)\cdot (x-a)$.

При записи суммы использованы обозначение $f^{(0)}(x)=f(x)$ и соглашение о произведении по пустому множеству: $0!=1$, $(x-a{)}^0=1$.

2. Рядом Тейлора в точке $a$ функции $f(x)$ вещественной переменной $x$, бесконечно дифференцируемой в окрестности точки $a$, называется формальный степенной ряд

$f(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\phi }_n(x;a)$ с общим членом ${\phi }_n(x;a)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot (x-a{)}^n$, зависящим от параметра $a$.

Другими словами, рядом Тейлора функции $f(x)$ в точке $a$ называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена $(x-a)$:

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\dots$.

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции $f(x)$ в окрестности точки $a$ не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки $a$.

3. Рядом Тейлора в точке $a$ функции $f(z)$ комплексной переменной $z$, удовлетворяющей в некоторой окрестности $U\subseteq ℂ$ точки $a$ условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

$f(z)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a{)}^n$.

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса $R>0$, что в $D_R=\{z\in ℂ:|z-z_0|<R\}\subseteq U$ ряд сходится к функции $f(z)$.

4. В случае $a=0$ ряд

$f(x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция

1. Функция $f(x)$ вещественной переменной $x$ называется аналитической в точке $x=a$, если существуют такой радиус $R>0$ и такие коэффициенты $c_k=c_k(a)=c_k(a;f)$, $k=0,1,2,\dots$, что $f(x)$ может быть представлена в виде сходящегося на интервале $(a-R;a+R)$ степенного ряда: $\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_k{(x-a)}^k$, то есть $\mathrm{\forall }x\in (a-R;a+R)$ $\Rightarrow$ $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^n{c}_k{(x-a)}^k=f(x)$.

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд $\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_k{(z-a)}^k$ на любом компактном подмножестве $K$ области сходимости $D_R=\{z\in ℂ:|z-z_0|<R\}$ допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в $k$-ю производную функции $\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{c}_k{(z-a)}^k$ подставить $z=a$, то получится $c_k\cdot k!$.

Таким образом, для аналитической в точке $a$ функции $f(z)$ для некоторого $R>0$ всюду в $D_R=\{z\in ℂ:|z-z_0|<R\}$ является верным представление $f(z)=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(z-a{)}^k$.

Следствие. Функция $f(x)$ вещественной переменной $x$ является аналитической в точке $a$ тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром $a$ на некотором открытом интервале, содержащем точку $a$.

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке $a$ функции $f(x)$ вещественного переменного $x$ её ряд Тейлора $\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$ сходиться к $f(x)$ всюду на каком-нибудь интервале $(a-R;a+R)$, то есть представима ли $f(x)$ этим рядом?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности $a$.

Примеры. Функции вещественной переменной $f_2(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{x^2}},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$, $f_{+}(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{x}},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$, $f_{\mathrm{v}}(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{|x|}},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$ являются бесконечно дифференцируемыми в точке $x=0$, причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром $a=0$ тождественно равны нулю. Однако, для любого $R>0$ в окрестности $(-R;+R)$ точки $a=0$ найдутся точки, в которых функции отличны от $0$. Таким образом, эти функции не являются в точке $a=0$ аналитическими.

Доказательство проведём для функции $f(x)=f_2(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{x^2}},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$, предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция $\exp (-\frac{1}{z^2})$, является аналитической функцией комплексной переменной для всех $z\in \overline{ℂ}\setminus \{0\}$.

Для $z\ne 0$ очевидно, что $\frac{d}{dz}\exp (-\frac{1}{z^2})=\exp (-\frac{1}{z^2})\cdot \left(\frac{2}{z^3}\right)$.

Функция $f(x)$ для $x\in ℝ$ — это «исправленная» функция $\exp (-\frac{1}{x^2})$, $x\in ℝ\setminus \{0\}$, дополненная пределами слева $\underset{x\to 0,x<0}{\lim }\exp (-\frac{1}{x^2})=0$ и справа $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }\exp (-\frac{1}{x^2})=0$ в точке $x=0$.

Найдём производную функции $f(x)$ в точке $x=0$. По определению: $f^{\prime }(0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0,\mathrm{\Delta }x\in ℝ\setminus \{0\}}{\lim }\frac{f(0+\mathrm{\Delta }x)-f(0)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{h\to 0,h\in ℝ\setminus \{0\}}{\lim }\frac{f(h)-0}{h}=\frac{0}{0}=\underset{h\to 0,h\in ℝ\setminus \{0\}}{\lim }\frac{f^{\prime }(h)}{h^{\prime }}=\underset{h\to 0,h\in ℝ\setminus \{0\}}{\lim }\frac{2f(h)}{h^3}$.

Поскольку для $x\in (0;1)$ выполняется $0<e^{-\frac{1}{x^2}}<e^{-\frac{1}{x}}$, то докажем, что для произвольного $\alpha >0$ верно $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^{\alpha }}=0$.

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям

$\underset{x\to 0,x>0}{\lim }{e}^{-\frac{1}{x}}=\underset{x\to 0,x>0}{\lim }{x}^{\alpha }=0$ не приводит к результату.

Выполним замену переменной: $\frac{1}{x}=t$:

$\underset{x\to 0,x>0}{\lim }\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^{\alpha }}=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{t^{\alpha }}{e^t}=\frac{+\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\alpha t^{\alpha -1}}{e^t}$.

Пусть $k=\lceil \alpha \rceil$. Применяя правило Лопиталя $k$ раз, в числителе получим либо (при $\alpha =k$) константу $k!$, либо (при $\alpha <k$) бесконечно малую $\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}$:

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{t^{\alpha }}{e^t}=\frac{+\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}=\dots =\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}{e^t}=0$.

Таким образом,

$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0,h\in ℝ\setminus \{0\}}{\lim }\frac{2f(h)}{h^3}=0$.

Найдём (для $x\ne 0$) несколько начальных производных функции $f(x)$:

$f^{\prime }(x)=\frac{2f(x)}{x^3}$

$f^{″}(x)=\left(\frac{2f(x)}{x^3}\right)=2\left(f^{\prime }(x)\frac{1}{x^3}+f(x)\left(\frac{1}{x^3}\right)\right)=2\left(\frac{2f(x)}{x^3}\frac{1}{x^3}+f(x)\left(\frac{1}{x^3}\right)\right)=2f(x)\left(\frac{2}{x^6}-\frac{3}{x^4}\right)$

$f^{‴}(x)=\left(2f(x)\left(\frac{2}{x^6}-\frac{3}{x^4}\right)\right)=4f(x)\left(\frac{2}{x^9}-\frac{3}{x^7}+\frac{6}{x^5}-\frac{6}{x^7}\right)$

И так далее. Во всех случаях, очевидно, получается произведение $f(x)$ на сумму целых отрицательных степеней $x$. Конечная сумма бесконечно малых является бесконечно малой. Таким образом, $\underset{x\to 0,x\in ℝ\setminus \{0\}}{\lim }{f}^{(k)}(x)=0$.

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные $f(x)$ в точке $x=0$, обнаруживаем, что все производные в точке $x=0$ равны нулю. Шаблон:Конец скрытого блока

Примером гладкой функции, не являющейся аналитической ни в одной точке своей области определения, служит функция Фабиуса.

Область сходимости ряда Тейлора

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке $a$) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке $a$) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция $f(x)=\frac{1}{1-x}$ может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: $\frac{1}{1-x}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k$ (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция $\frac{1}{1-x}$ определена для всех действительных чисел, кроме точки $x=1$, то ряд $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k$ сходится только при условии $|x|<1$.

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

$R=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}}{\frac{f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}}\right|=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{f^{(k)}(a)}{f^{(k+1)}(a)}(k+1)\right|$.

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию $e^x$. Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен $R=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{e^a}{e^a}(k+1)\right|=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(k+1)=\mathrm{\infty }$. Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси $x$ для любого параметра $a$.

4. От параметра — точки разложения $a$ ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного $a$) в ряд Тейлора функцию $f(x)=\frac{1}{1-x}$: $f(x)=\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-a}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{x-a}{1-a}\right)}^k$.

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента $x$, при любых значениях $a$ (кроме $a=1$) имеет один и тот же вид.

Действительно,

$\frac{1}{1-a}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{x-a}{1-a}\right)}^k=\frac{1}{1-a}\cdot \frac{1}{1-\left(\frac{x-a}{1-a}\right)}=\frac{1}{1-x}$.

Область сходимости ряда может быть задана неравенством $\left|\frac{x-a}{1-a}\right|<1$. И теперь эта область зависит от $a$. Например, для $a=0$ ряд сходится при $x\in (-1;1)$. Для $a=0,5$ ряд сходится при $x\in (0;1)$.

Формула Тейлора

Предположим, что функция $f(x)$ имеет все производные до $n+1$-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку $x=a$. Найдем многочлен $P_n(x)$ степени не выше $n$, значение которого в точке $x=a$ равняется значению функции $f(x)$ в этой точке, а значения его производных до $n$-го порядка включительно в точке $x=a$ равняются значениям соответствующих производных от функции $f(x)$ в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид $P_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}{(x-a)}^k$, то есть это $n$-я частичная сумма ряда Тейлора функции $f(x)$. Разница между функцией $f(x)$ и многочленом $P_n(x)$ называется остаточным членом и обозначается $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$. Формула $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$ называется формулой Тейлора. Остаточный член дифференцируем $n+1$ раз в рассматриваемой окрестности точки $a$. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема: Шаблон:Рамка Если функция $f(x)$ имеет $n+1$ производную на отрезке с концами $a$ и $x$, то для произвольного положительного числа $p$ найдётся точка $\xi$, лежащая между $a$ и $x$, такая, что

$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+{\left(\frac{x-a}{x-\xi }\right)}^p\frac{(x-\xi {)}^{n+1}}{n!p}{f}^{(n+1)}(\xi ).$

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

$R_n(x)=\frac{(x-a{)}^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]p=n+1;0<\theta <1$

В форме Коши:

$R_n(x)=\frac{(x-a{)}^{n+1}(1-\theta {)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]p=1;0<\theta <1$

В интегральной форме:

$R_n(x)=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^n{f}^{(n+1)}(t)dt$

Методом интегрирования по частям получим $\begin{array}{c}{R}_n(x)=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^n{f}^{(n+1)}(t)dt=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n}d{f}^{(n)}(t)=\frac{1}{n!}{\left({(x-t)}^n{f}^{(n)}(t)\right)|}_a^x-\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{(n)}(t)d(x-t{)}^n=\\ =\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}{f}^{(n)}(t)dt-\frac{{(x-a)}^n{f}^{(n)}(a)}{n!}=...=\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt-\sum _{k=1}^n\frac{f^{(k)}(a){(x-a)}^k}{k!}=f(x)-\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a){(x-a)}^k}{k!}\end{array}$

откуда

$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a){(x-a)}^k}{k!}+R_n(x)$

Шаблон:Конец скрытого блока Ослабим предположения:

• Пусть функция $f(x)$ имеет $n-1$ производную в некоторой окрестности точки $a$ и $n$-ю производную в самой точке $a$, тогда:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

$R_n(x)=o[(x-a{)}^n]$

Поскольку $R_n(a)=R_n(a{)}^{\prime }=R_n(a{)}^{″}=...=R_n(a{)}^{(n)}=0$, то предел отношения $\frac{R_n(x)}{{(x-a)}^n}$ при $x$, стремящемся к $a$, может быть найден по правилу Лопиталя: $\underset{x\to a}{\lim }\frac{R_n(x)}{{(x-a)}^n}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{R_n(x{)}^{\prime }}{\left({(x-a)}^n\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{R_n(x{)}^{″}}{\left({(x-a)}^n\right)}=...=\underset{x\to a}{\lim }\frac{R_n{(x)}^{(n)}}{{\left({(x-a)}^n\right)}^{(n)}}=\frac{R_n{(a)}^{(n)}}{n!}=0$

Поскольку исходный предел равен нулю, это значит, что остаточный член $R_n(x)$ является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем $(x-a{)}^n$, при $x\to a$. А это и есть определение о-малого.

Критерий аналитичности функции

Шаблон:Mainref Предположим, что некоторую функцию $f(x)$ нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке $x=a$. Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке $a$, и её ряд Тейлора с параметром $a$ может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка $x=a$, потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции $f(x)$ только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку $a$. Пусть ряд Тейлора с параметром $a$ такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех $x$ из окрестности $a$ по формуле Тейлора можно записать $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-P_n(x))=f(x)-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n(x)$, где $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n(x)$ — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция $f(x)$ является аналитической в точке $a$ тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки $a$ существует непрерывная область $X$ такая, что для всех $x\in X$ остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом $n$: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n(x)=0$.

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию $e^x$. Её ряд Тейлора сходится на всей оси $x$ для любых параметров $a$. Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках $a$.

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид $R_n(x)=\frac{{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{{\xi }_n}$, где ${\xi }_n$ — некоторое число, заключенное между $x$ и $a$ (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}{e}^{{\xi }_n}\le M\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}=0$

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом $M$

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых $x$ и $a$.

Ряды Маклорена некоторых функций

• Экспонента: ${\mathrm{e}}^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!},x\in ℂ.$
• Натуральный логарифм («ряд Меркатора»): $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{n+1}}{(n+1)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}$ для всех $-1<x\le 1.$
• Биномиальное разложение: $(1+x{)}^{\alpha }=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n,$ для всех $\left|x\right|<1$ и всех комплексных $\alpha ,$ где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$ — обобщённые биномиальные коэффициенты.
  • Квадратный корень: $\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1\cdot 1}{2\cdot 4}{x}^2+\frac{1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}{x}^3-\frac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}{x}^4+\frac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}{x}^5-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}(2n)!}{2^{2n}(2n-1)(n!{)}^2}{x}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)(2n-1)}{x}^n$ для всех $|x|\le 1.$
  • Обратный квадратный корень: $\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}{x}^2-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}{x}^3+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}{x}^4-\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}{x}^5+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}{x}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)}{x}^n$ для всех $-1<x\le 1.$
  • Шаблон:Iw:
    • $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$ для всех $|x|<1.$
    • $\frac{1}{(1-x{)}^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}$ для всех $|x|<1.$
    • $\frac{1}{(1-x{)}^3}=1+3x+6x^2+10x^3+\cdots =\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n-1)n}{2}{x}^{n-2}$ для всех $|x|<1.$
    • Конечный геометрический ряд: $\frac{1-x^{m+1}}{1-x}=\sum _{n=0}^m{x}^n$ для всех $x=1,m\in {\mathbb{N}}_0.$
• Тригонометрические функции:
  • Синус: $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in ℂ.$
  • Косинус: $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},x\in ℂ.$
  • Тангенс: $\mathrm{tg}x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}{2}^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|<\frac{\pi }{2},$ где $B_{2n}$ — числа Бернулли.
  • Котангенс: $\mathrm{ctg}x=x^{-1}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}{x}^3-\frac{2}{945}{x}^5+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^{2n}{B}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi ,$ где $B_{2n}$ — числа Бернулли.
  • Секанс: $\sec x=1+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{24}{x}^4+\frac{61}{720}{x}^6+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}$ для всех $\left|x\right|<\frac{\pi }{2},$ где $E_{2n}$ — числа Эйлера.
  • Косеканс: $\mathrm{cosec}x=x^{-1}+\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}{x}^3+\frac{31}{15120}{x}^5+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi ,$ где $B_{2n}$ — числа Бернулли.
• Обратные тригонометрические функции:
  • Арксинус: $\arcsin x=x+\frac{1}{2\cdot 3}{x}^3+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}{x}^5+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}{x}^7+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1{)}^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ для всех $\left|x\right|\le 1$.
  • Арккосинус: $\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x=\frac{\pi }{2}-x-\frac{1}{2\cdot 3}{x}^3-\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}{x}^5-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}{x}^7-\cdots =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1{)}^2}=\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ для всех $\left|x\right|\le 1.$
  • Арктангенс: $\mathrm{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}{x}^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|\le 1.$
  • Арккотангенс: $\mathrm{arcctg}x=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}x=\frac{\pi }{2}-x+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}-\cdots =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}{x}^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|\le 1.$
• Гиперболические функции:
  • Гиперболический синус: $\mathrm{sh}x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in ℂ.$
  • Гиперболический косинус: $\mathrm{ch}x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!},x\in ℂ.$
  • Гиперболический тангенс: $\mathrm{th}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}{B}_{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|<\frac{\pi }{2}.$
  • Гиперболический котангенс: $\mathrm{cth}x=x^{-1}+\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}{x}^3+\frac{2}{945}{x}^5-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}{B}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi .$
  • Гиперболический секанс: $\mathrm{sech}x=1-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{5}{24}{x}^4-\frac{61}{720}{x}^6+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}$ для всех $\left|x\right|<\frac{\pi }{2}.$
  • Гиперболический косеканс: $\mathrm{cosech}x=x^{-1}-\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}{x}^3-\frac{31}{15120}{x}^5+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi .$
• Обратные гиперболические функции:
  • Гиперболический арксинус: $\mathrm{arsh}x=x-\frac{1}{2\cdot 3}{x}^3+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}{x}^5-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}{x}^7+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n+1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1{)}^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ для всех $\left|x\right|\le 1.$
  • Гиперболический арктангенс: $\mathrm{arth}x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5+\frac{1}{7}{x}^7+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ для всех $\left|x\right|<1.$
• W-функция Ламберта: $W_0(x)=x-x^2+\frac{3x^3}{2}-\frac{8x^4}{3}+\frac{125x^5}{24}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n,|x|\le 1/e.$
• Другие функции:
  • $\frac{e^x}{1-x}=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lfloor en!\rfloor }{n!}{x}^n$

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция $f(x,y)$ имеет непрерывные производные до $(n+1)$-го порядка включительно в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$. Введём дифференциальный оператор

$\mathrm{T}=(x-x_0)\frac{\partial }{\partial x}+(y-y_0)\frac{\partial }{\partial y}$.

Тогда разложение (формула Тейлора) функции $f(x,y)$ по степеням $(x-x_0{)}^p(y-y_0{)}^q$ для $p+q\le n$ в окрестности точки $(x_0,y_0)$ будет иметь вид

$f(x,y)=\sum _{k=0}^n\frac{{\mathrm{T}}^{k}f(x_0,y_0)}{k!}+R_n(x,y),$

где $R_n(x,y)$ — остаточный член в форме Лагранжа:

$R_n(x,y)=\frac{{\mathrm{T}}^{(n+1)}f(\xi ,\zeta )}{(n+1)!},\xi \in [x_0,x],\zeta \in [y_0,y]$

Следует иметь в виду, что операторы $\frac{\partial }{\partial x}$ и $\frac{\partial }{\partial y}$ в ${\mathrm{T}}^k$ действуют только на функцию $f(x,y)$, но не на $(x-x_0)$ и/или $(y-y_0)$.

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе $\mathrm{T}$.

В случае функции одной переменной $\mathrm{T}=(x-x_0)\frac{d}{dx}$.

Формула Тейлора многих переменных

Для получения формулы Тейлора функции $n$ переменных $f(x_1,x_2,...x_n)$, которая в некоторой окрестности точки $(a_1,a_2,...,a_n)$ имеет непрерывные производные до $(m+1)$-го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

$\mathrm{T}=(x_1-a_1)\frac{\partial }{\partial x_1}+(x_2-a_2)\frac{\partial }{\partial x_2}+...+(x_n-a_n)\frac{\partial }{\partial x_n}.$

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням $(x_i-a_i{)}^{k_i}$ в окрестности точки $(a_1,a_2,...,a_n)$ имеет вид

$f(x_1,x_2,...x_n)=\sum _{k=0}^m\frac{{\mathrm{T}}^{k}f(a_1,a_2,...,a_n)}{k!}+R_m(x_1,x_2,...x_n),$

где $R_m(x_1,x_2,...x_n)$ — остаточный член порядка $(m+1)$.

Для функции $n$ переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки $(a_1,a_2,...,a_n)$, ряд Тейлора имеет вид:

$f(x_1,x_2,...x_n)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\sum _{i_1=1}^n\sum _{i_2=1}^n...\sum _{i_k=1}^n\frac{{\partial }^{k}f(a_1,a_2,...,a_n)}{\partial x_{i_1}\partial x_{i_2}...\partial x_{i_k}}(x_{i_1}-a_1)(x_{i_2}-a_2)...(x_{i_n}-a_n)$.

В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:

$f(x_1,x_2,...x_n)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\stackrel{k_1+k_2+...+k_n=k}{\overbrace{\sum _{k_1=0}\sum _{k_2=0}...\sum _{k_n=0}}}\frac{1}{k_1!k_2!...k_n!}\frac{{\partial }^{k}f(a_1,a_2,...,a_n)}{\partial x_1^{k_1}\partial x_2^{k_2}...\partial x_n^{k_n}}(x_1-a_1{)}^{k_1}(x_2-a_2{)}^{k_2}...(x_n-a_n{)}^{k_n}$.

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных $x$, $y$ и $z$ в окрестности точки $(0,0,0)$ до второго порядка малости. Оператор $\mathrm{T}$ будет иметь вид

$\mathrm{T}=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}+z\frac{\partial }{\partial z}.$

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

$f(x,y,z)=\sum _{k=0}^2\frac{{\mathrm{T}}^k{f}_0}{k!}+R_2(x,y,z)=$

$=(1+T+\frac{T^2}{2})f_0+R_2(x,y,z);$

Учитывая, что

$T^2=x^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+y^2\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+z^2\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+2xy\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}+2xz\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial z}+2yz\frac{{\partial }^2}{\partial y\partial z},$

получим

$f(x,y,z)=f_0+x\frac{\partial f_0}{\partial x}+y\frac{\partial f_0}{\partial y}+z\frac{\partial f_0}{\partial z}+\frac{x^2}{2}\frac{{\partial }^2{f}_0}{\partial x^2}+\frac{y^2}{2}\frac{{\partial }^2{f}_0}{\partial y^2}+\frac{z^2}{2}\frac{{\partial }^2{f}_0}{\partial z^2}+$

$+xy\frac{{\partial }^2{f}_0}{\partial x\partial y}+xz\frac{{\partial }^2{f}_0}{\partial x\partial z}+yz\frac{{\partial }^2{f}_0}{\partial y\partial z}+R_2(x,y,z).$

Например, при $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$,

$f(x,y,z)=1+x+y+z+\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+xy+xz+yz+R_2(x,y,z).$

Литература

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Груздов А. В., Березин С. В., Березин А. В., Березин П. В. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ Universum 2024 1(118) DOI - 10.32743/UniTech.2024.118.1.16645
• .Груздов А. В., Березин С. В., Березин А. В., Березин П. В. Естественная Теория Флагман Науки 2025 январь ISSN 29491991
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга