Ряд Меркатора

Сходимость ряда Меркатора к $\ln (1+x)$ (показанной оранжевым) в окрестности нуля для 4, 7, 11, 16 членов ряда

Ряд Мерка́тора (иногда называемый ряд Ньютона — Меркатора) в математическом анализе — ряд Тейлора для функции натурального логарифма, впервые опубликованный немецким математиком Николасом Меркатором (Кауфманом) в трактате «Logarithmotechnia» (Шаблон:Год):

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n$

Лейбниц за это открытие назвал Меркатора «первым изобретателем бесконечных рядов»; до Меркатора европейские математики рассматривали почти исключительно числовые ряды, не содержащие переменных. Независимо от Меркатора этот ряд открыл Исаак Ньютон. В работе «Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых» (1671, опубликован посмертно в 1736 году) Ньютон выразил удивление, что до Меркатора никто «не направил своего внимания на приложение к буквам [переменным] принципов недавно открытого учения о десятичных дробях, особенно потому, что при этом открывается путь к более трудным и более важным открытиям».

Ряд Меркатора способствовал подъёму массового интереса к использованию бесконечных рядов и формированию общей теории рядов и функций. К концу XVII века эта тема существенно расширилась и превратилась в математический анализ.

Ряд Меркатора сходится при $-1<x⩽1,$ хотя сходимость довольно медленная. При $|x|<1$ ряд сходится абсолютно.

История

Площадь под гиперболой $y=1/x$ в интервале $(1,a)$ равна $\ln (a)$

В 1647 году Грегуар де Сен-Венсан обнаружил связь логарифма и площади под гиперболой (см. рисунок). В 1650 году, исходя из геометрических соображений, итальянский математик Пьетро Менголи опубликовал в трактате «Новые арифметические квадратуры» разложение $\ln 2$ в бесконечный рядШаблон:Sfn:

$\ln 2=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6}\dots$

В 1657 году эту формулу независимо опубликовал английский математик Уильям Браункер в своей статье «Квадратура гиперболы с помощью бесконечного ряда рациональных чисел».

В Шаблон:Год году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман), проживавший тогда в Лондоне, в трактате «Logarithmotechnia» впервые рассмотрел разложение в ряд не числа, а функцииШаблон:Sfn:

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\dots$

Далее он нашёл площади под левой и правой частями этого разложения (в современных терминах, проинтегрировал их) и получил «ряд Меркатора», который выписал для значений $x=0,1$ и $x=0,21$. Сходимость ряда Меркатор не исследовал, но сразу после выхода в свет труда Меркатора Джон Валлис указал, что ряд пригоден при $0⩽x<1$ (отрицательными числами тогда пренебрегали).

Как обнаружили историки науки, Ньютон вывел такой же ряд в 1665 году, но, по своему обыкновению, не позаботился о публикацииШаблон:Sfn. Глубокие исследования Ньютона в области бесконечных рядов были опубликованы только в 1711 году, в трактате «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов».

Вариации и обобщения

Ряд Меркатора непригоден для реальных расчётов, так как сходится очень медленно, причём в ограниченном интервале. Но уже в год публикации Меркатора (1668) Джеймс Грегори предложил модифицированный его вариант:

$\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots )$

Этот ряд сходится гораздо быстрее, а логарифмируемое выражение уже может представить любое положительное число $z=\frac{1+x}{1-x}$, ибо тогда $x=\frac{z-1}{z+1}$ по абсолютной величине меньше единицы. Например, сумма первых 10 членов ряда Меркатора для $\ln 2$ равна $0,646,$ здесь только первый десятичный знак верен, в то время как ряд Грегори даёт значение $0,6931471805498,$ в котором верны 10 знаков из 13.

На комплексной плоскости ряд Меркатора приобретает обобщённый вид:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n}=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\cdots$

Это ряд Тейлора для комплексной функции $f(z)=-\ln (1-z),$ где символ ln обозначает главную ветвь (главное значение) комплексного натурального логарифма. Данный ряд сходится в круге $|z|⩽1,z\ne 1$.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:H