Абсолютная сходимость

Шаблон:Значения Сходящийся ряд $\sum a_{n}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\sum | a_{n} |$ , иначе — сходящимся условно.

Аналогично, если несобственный интеграл $\int f (x) d x$ от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от её модуля $\int | f (x) | d x$ .

В случае общего нормированного пространства модуль в определении заменяется на норму.

Ряды

Признаки абсолютной сходимости

Признак сравнения

Если $\exists N_{0} : | a_{n} | ⩽ b_{n}$ при $n ⩾ N_{0}$ , то:

если ряд $\sum b_{n}$ сходится, то ряд $\sum a_{n}$ сходится абсолютно
если ряд $\sum a_{n}$ расходится, то ряд $\sum b_{n}$ расходится

Согласно критерию Коши,

\forall ε > 0 \exists N ⩾ N_{0} \forall m ⩾ n ⩾ N : | \sum_{k = n}^{m} b_{k} | ⩽ ε

. Значит,

| \sum_{k = n}^{m} a_{k} | ⩽ \sum_{k = n}^{m} | a_{k} | ⩽ \sum_{k = n}^{m} b_{k} ⩽ | \sum_{k = n}^{m} b_{k} | ⩽ ε

, и по критерию Коши ряд

\sum a_{n}

сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд

\sum b_{n}

сходился, то и ряд

\sum a_{n}

сходился бы.

Признак сходимости рядов с монотонно убывающими членами

Пусть $a_{1} ⩾ a_{2} ⩾ a_{3} ⩾ . . . ⩾ 0$ . Тогда ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum_{k = 0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} = a_{1} + 2 a_{2} + 4 a_{4} + 8 a_{8} + . . .$ Шаблон:Hider

Признаки Коши и д’Аламбера

Признак д’Аламбера

Ряд $\sum a_{n}$

Сходится абсолютно, если $\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < 1$
Расходится, если $\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | > 1$
Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых $\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | ⩽ 1 ⩽ \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |$

Признак Коши

Пусть задан ряд $\sum a_{n}$ и $α = \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \sqrt[n]{| a_{n} |}$ . Тогда

Если $α < 1$ , то ряд сходится абсолютно
Если $α > 1$ , то ряд расходится
Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых $α = 1$

Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями $\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |$ и $α$ соответственно), о расходимости — из того, что общий член ряда не стремится к нулю.

Если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов. Признак Коши сильнее признака Даламбера, поскольку существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.

Интегральный признак Коши — Маклорена

Пусть задан ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}, a_{n} ⩾ 0$ и функция $f (x) : ℝ \to ℝ$ такая, что:

$f (x)$ нестрого монотонно убывает: $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) ⩾ f (x_{2})$
$\forall n : f (n) = a_{n}$

Тогда ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ и интеграл $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ сходятся или расходятся одновременно, причём $\forall k ⩾ 1 \sum_{n = k}^{\infty} a_{n} ⩾ \int_{k}^{\infty} f (x) d x ⩾ \sum_{n = k + 1}^{\infty} a_{n}$

Признак Раабе

Пусть задан ряд $\sum a_{n}$ , $a_{n} > 0$ и $R_{n} = n (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1)$ .

Если $\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} R_{n} > 1$ , то ряд сходится
Если $\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} R_{n} ⩽ 1$ , то ряд расходится
Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых $\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} R_{n} ⩽ 1 ⩽ \underset{n \to \infty}{\lim^{―}} R_{n}$

Признак Раабе основан на сравнении с обобщённым гармоническим рядом

Действия над рядами

Если оба ряда $\sum a_{n}$ и $\sum b_{n}$ сходятся абсолютно, то и их сумма $\sum (a_{n} + b_{n})$ сходится абсолютно
Если хотя бы один из рядов $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ и $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$ сходится абсолютно, то их произведение по Коши $\sum c_{n}, c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ сходится, если же оба ряда сходятся абсолютно, то и их произведение сходится абсолютно
Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда каждая его перестановка сходится. При этом все перестановки абсолютно сходящегося ряда сходятся к одной и той же сумме.

Примеры

Рассмотрим ряд $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + . . .$ . Для этого ряда:

$\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} {(\frac{2}{3})}^{n} = 0$
$\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \sqrt[n]{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2 n]{\frac{1}{2^{n}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} {(\frac{3}{2})}^{n} = + \infty$

Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Рассмотрим ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n - (- 1)^{n}}$

$\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n + 1 + 1}}{2^{n - 1}} = 8$
$\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n + 1 - 1}}{2^{n + 1}} = \frac{1}{2}$
$\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \sqrt[n]{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} 2 \sqrt[n]{2^{(- 1)^{n}}} = 2$

Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{α}}$ сходится при $α > 1$ и расходится при $α ⩽ 1$ , однако:

$\underset{n \to \infty}{\lim_{―}} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} {(\frac{n}{n + 1})}^{α} = 1$
$\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \sqrt[n]{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} n^{α / n} = 1$
$\underset{n \to \infty}{\lim^{―}} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} {(\frac{n}{n + 1})}^{α} = 1$

Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.

Ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n}$ сходится условно по признаку Лейбница, но не абсолютно, так как гармонический ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} | \frac{(- 1)^{n}}{n} | = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ расходится.