Признак Дирихле

Шаблон:Другие значения термина Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов

Шаблон:Рамка Рассмотрим функции $f$ и $g$, определённые на промежутке $[a;b)$, $a\in ℝ$, $b\in ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ и имеющую в точке $b$ особенность (первого или второго рода). Пусть выполнены условия:

• интеграл с верхним переменным пределом $\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ определён для всех $x\in [a;b)$ и ограничен на $[a;b)$;
• функция $g(x)$ монотонна на $[a;b)$ и $\underset{x\to b-}{\lim }g(x)=0$.

Тогда $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx$ сходится. Шаблон:Конец рамки

Признак можно сформулировать и для случая, если особенность в точке $a$. Пусть $a\in ℝ\cup \{-\mathrm{\infty }\}$, $b\in ℝ$ и $f$ определена на $(a;b]$. В таком случае условия видоизменяются следующим образом:

• интеграл с нижним переменным пределом $\underset{x}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$ определён для всех $x\in (a;b]$ и ограничен на $(a;b]$;
• $g(x)$ монотонна на $(a;b]$ и $\underset{x\to a+}{\lim }g(x)=0$.

Тогда $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx$ сходится.

Необязательно также, что $a<b$. Если $a>b$, то $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)g(x)dx$ и сходимость $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx$ равносильна сходимости $\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)g(x)dx$.

Если интеграл удовлетворяет условиям признака Дирихле, то для его остатка верна следующая оценка:

$|r_{\xi }|=|\underset{\xi }{\overset{b}{\int }}f(t)g(t)dt|\le 2M|g(\xi )|$

Здесь $\xi$ – произвольное число из промежутка, а $M$ — число, которым ограничен интеграл с верхним переменным пределом. При помощи этой оценки можно приближать значение несобственного интеграла собственным с любой наперёд заданной точностью.

• Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

$\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{\sqrt{x}+\sin x}dx=\mathrm{\infty }.$

Однако условие монотонности не является необходимым.

$\underset{2}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x+2\sin x}dx$ — сходится.

• Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$, где $|B_n|=\left|\sum _{k=1}^n{b}_k\right|⩽M\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ и последовательность $\{a_n\}$ — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)

Шаблон:Рамка Пусть выполнены условия:

• Последовательность частичных сумм $B_n=\sum _{k=1}^n{b}_k$ ограничена, то есть $\mathrm{\exists }M>0:|B_n|⩽M\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$.
• $a_n⩾a_{n+1}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$.

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ сходится. Шаблон:Конец рамки

• Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
• Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{c}_n,c_n>0,c_{n+1}⩽c_n\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=0;$

$b_n=(-1{)}^{n+1}\Rightarrow |B_n|=|\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}|⩽1\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\Rightarrow$ сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

• Оценка остатка ряда Абелева типа
  Рассмотрим ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: $|r_n|=\left|\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{b}_k\right|⩽2M{a}_{n+1}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$.
• Доказательство признака Дирихле вытекает из преобразования Абеля.

Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром

Шаблон:Рамка Пусть функция $f$ и $g$ определёны на множестве $[a;b)\times Y$, $a\in ℝ$, $b\in ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ и допускается, что интеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx$ для каких-то точек $y\in Y$ имеет особенность в точке $b$. Пусть выполнены условия:

• интеграл с верхним переменным пределом $\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t,y)dt$ определён для всех $x\in [a;b)$, $y\in Y$ и равномерно ограничен на $[a;b)\times Y$;
• функция $g(x,y)$ монотонна по $x$ на $[a;b)$ для каждого конкрентого $y\in Y$ и $g(x,y)\rightrightarrows 0$ при $x\to b-$.

Тогда $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)g(x,y)dx$ сходится равномерно. Шаблон:Конец рамки

См. также

• Признак Абеля

Литература

А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.