Знакочередующийся ряд

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{b}_n,b_n>0$.

Признак Лейбница

Формулировка

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть дан знакочередующийся ряд

$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{b}_n,b_n\ge 0$,

для которого выполняются следующие условия:

1. $b_n\ge b_{n+1}$, начиная с некоторого номера ($n\ge N$),
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=0.$

Тогда такой ряд сходится.

Замечания

Монотонное убывание не является необходимым для сходимости знакочередующегося ряда (в то время как $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=0$ — необходимое условие сходимости для любого ряда), таким образом и сам признак является только достаточным, но не необходимым (например, ряд $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+(-1{)}^n}$ сходится). С другой стороны, монотонное убывание существенно для применения признака Лейбница; если оно отсутствует, то ряд может расходиться даже несмотря на то, что второе условие признака Лейбница выполнено. Пример расходящегося знакочередующегося ряда с немонотонным убыванием членовШаблон:Sfn:

$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\dots +\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}+\dots$

Удвоенные частичные суммы этого ряда совпадают с частичными суммами гармонического ряда и поэтому неограниченно растут.

Пример

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}$. Ряд из модулей имеет вид $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

1. знакочередование выполнено
2. $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n},\mathrm{\forall }n$
3. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0$.

Следовательно, так как все условия выполнены, ряд сходится (причем условно, так как ряд из модулей расходится).

Оценка остатка ряда Лейбница

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда (остаток ряда):

$S_n=\sum _{i=1}^n(-1{)}^i{b}_i.$

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда $R_n=S-S_n$ будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

$\left|R_n\right|<b_{n+1}.$

Знакопеременный ряд

Знакочередующиеся ряды также иногда называют знакопеременными, однако этот термин может также означать любые ряды, имеющие одновременно бесконечное число положительных и отрицательных членов.

См. также

• Признак Дирихле — обобщение признака Лейбница

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга