Необходимое условие сходимости рядов

Необходимое условие сходимости ряда (Необходимый признак сходимости ряда): Шаблон:Теорема

Доказательство

Пусть исходный ряд сходится (последовательность частичных сумм имеет конечный предел). По условию последовательности частичных сумм $(s_k)$ и $(s_{k+1})$ имеют общий конечный предел $s$, но $|a_{k+1}|=|s_{k+1}-s_k|$, а потому $|a_{k+1}|\to 0$, что равносильно бесконечной малости $(a_k)$.

Замечание

Данный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что $(a_k)\to 0$ не следует, что ряд сходится.

Так, гармонический ряд $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...$ расходится, хотя необходимое условие сходимости ряда для него выполняется.

Литература

• Богданов Ю. С. — Лекции по математическому анализу — Часть 2 — Минск: Издательство БГУ — 1978.
• Шаблон:Книга

Шаблон:Rq