Несобственный интеграл

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий.

• Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком $[a,+\mathrm{\infty })$.
• Функция $f(x)$ является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал $[a,b]$ конечный и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает со значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода

Несобственный интеграл первого рода

Пусть $f(x)$ определена и непрерывна на интервале $[a,+\mathrm{\infty })$ и $\mathrm{\forall }A>a\mathrm{\exists }\underset{a}{\overset{A}{\int }}f(x)dx$. Тогда:

1. Если $\mathrm{\exists }\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{A}{\int }}f(x)dx=I\in ℝ$, то используется обозначение $I=\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае $I=\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ называется сходящимся.
2. Если не существует конечного $\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{A}{\int }}f(x)dx$ ($\pm \mathrm{\infty }$ или $\nexists$), то интеграл $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ называется расходящимся к «$\mathrm{\infty }$», «$\pm \mathrm{\infty }$», или просто расходящимся.

Пусть $f(x)$ определена и непрерывна на множестве от $(-\mathrm{\infty },b]$ и $\mathrm{\forall }B<b\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{B}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$. Тогда:

1. Если $\mathrm{\exists }\underset{B\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{B}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=I\in ℝ$, то используется обозначение $I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае $I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ называется сходящимся.
2. Если не существует конечного $\underset{B\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{B}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ ($\pm \mathrm{\infty }$ или $\nexists$), то интеграл $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ называется расходящимся к «$\mathrm{\infty }$», «$\pm \mathrm{\infty }$», или просто расходящимся.

Если функция $f(x)$ определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{-1}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{-1}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }-\frac{1}{x}{|}_a^{-1}=1+\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{a}=1+0=1$

Несобственные интегралы II рода

Несобственный интеграл Римана второго рода

Пусть $f(x)$ определена на $(a,b]$, терпит бесконечный разрыв в точке Шаблон:Math и $\mathrm{\forall }\delta >0\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{a+\delta }{\overset{b}{\int }}f(x)dx=ℐ(\delta )$. Тогда:

1. Если $\mathrm{\exists }\underset{\delta \to 0+0}{\lim }ℐ(\delta )=I\in ℝ$, то используется обозначение $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
   
2. Если $\underset{\delta \to 0+0}{\lim }ℐ(\delta )=\mathrm{\infty }(\pm \mathrm{\infty }$ или $\nexists )$, то обозначение сохраняется, а $ℐ=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ называется расходящимся к «$\mathrm{\infty }$», «$\pm \mathrm{\infty }$», или просто расходящимся.

Пусть $f(x)$ определена на $[a,b)$ , терпит бесконечный разрыв при Шаблон:Math и $\mathrm{\forall }\delta >0\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{a}{\overset{b-\delta }{\int }}f(x)dx=ℐ(\delta )$. Тогда:

1. Если $\mathrm{\exists }\underset{\delta \to 0+0}{\lim }ℐ(\delta )=I\in ℝ$, то используется обозначение $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
   
2. Если $\underset{\delta \to 0+0}{\lim }ℐ(\delta )=\mathrm{\infty }(\pm \mathrm{\infty }$ или $\nexists )$, то обозначение сохраняется, а $ℐ=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ называется расходящимся к «$\mathrm{\infty }$», «$\pm \mathrm{\infty }$», или просто расходящимся.

Если функция $f(x)$ терпит разрыв во внутренней точке $c$ отрезка $[a;b]$, то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x}=\underset{\delta \to 0+0}{\lim }\ln |x|{|}_{0+\delta }^1=0-\underset{\delta \to 0+0}{\lim }\ln \delta =+\mathrm{\infty }$

Отдельный случай

Пусть функция $f(x)$ определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках $x_1,x_2,\dots ,x_k$.

Тогда можно найти несобственный интеграл $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_1}{\int }}f(x)dx+\sum _{j=1}^{k-1}\underset{x_j}{\overset{x_{j+1}}{\int }}f(x)dx+\underset{x_k}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

Критерий Коши

1. Пусть $f(x)$ определена на множестве от $[a,+\mathrm{\infty })$ и $\mathrm{\forall }A>a\mathrm{\exists }\underset{a}{\overset{A}{\int }}f(x)dx$.

Тогда $ℐ=\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ сходится $\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }A(\epsilon )>a:\mathrm{\forall }(A_2>A_1>A)\Rightarrow |\underset{A_1}{\overset{A_2}{\int }}f(x)dx|<\epsilon$

2. Пусть $f(x)$ определена на $(a,b]$ и $\mathrm{\forall }\delta >0\mathrm{\exists }\underset{a+\delta }{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Тогда $ℐ=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ сходится $\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0\Rightarrow \mathrm{\exists }\delta (\epsilon )>0:\mathrm{\forall }(0<{\delta }_1<{\delta }_2<\delta )\Rightarrow |\underset{a+{\delta }_1}{\overset{a+{\delta }_2}{\int }}f(x)dx|<\epsilon$

Абсолютная сходимость

Интеграл $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx)$ называется абсолютно сходящимся, если $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx(\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx)$сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость

Интеграл $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ называется условно сходящимся, если $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$ сходится, а $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx$ расходится.

См. также

• Интеграл Римана
• Интеграл Лебега
• Метод Самокиша — численный метод для вычисления интегралов с особенностями.