Метод Самокиша

Метод Самокиша (формула Стенжера) — метод численного интегрирования интегралов с особенностями.

Рассмотрим определённый интеграл с особенностями на концах промежутка $[-1,1]$

Пусть требуется вычислить $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$ — оба конца особые. Метод заключается в отбрасывании концов на бесконечность, заменой переменных:

$x=\mathrm{th}\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{e^{\frac{t}{2}}-e^{-\frac{t}{2}}}{e^{\frac{t}{2}}+e^{-\frac{t}{2}}}=\frac{e^t-1}{e^t+1}$

$dx=\frac{1}{2}\frac{1}{{\mathrm{ch}}^2\left(\frac{t}{2}\right)}dt=\frac{2e^t}{(e^t+1{)}^2}dt$, тогда интеграл принимает следующий вид:

$I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f\left(\frac{e^t-1}{e^t+1}\right)\frac{e^t}{(e^t+1{)}^2}dt=2h\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(\frac{e^{nh}-1}{e^{nh}+1}\right)\frac{e^{nh}}{(e^{nh}+1{)}^2}$

Интеграл берется по формуле трапеций. Пусть $q=e^h$,где $h=\frac{b-a}{m}$, m — количество промежутков деления, тогда :

$I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=2h\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(\frac{q^n-1}{q^n+1}\right)\frac{q^n}{(q^n+1{)}^2}$

Суммирование заканчивается, когда остаток ряда меньше заданного $\epsilon$, которое по Самокишу равно $e^{\pi q}$.

Библиография

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга