Признак Абеля

Признак Абеля сходимости несобственных интегралов

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости несобственного интеграла.

Признак Абеля для несобственного интеграла I-рода (для бесконечного промежутка). Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены на промежутке $[a,\mathrm{\infty })$. Тогда несобственный интеграл $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)g(x)dx$ сходится, если выполнены следующие условия:

1. Функция $f(x)$ интегрируема на $[a,\mathrm{\infty })$.
2. Функция $g(x)$ ограничена и монотонна.

Признак Абеля для несобственного интеграла II-рода (для функций с конечным числом разрывов). Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены на промежутке $(a,b]$. Тогда несобственный интеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx$ сходится если выполнены следующие условия:

1. Функция $f(x)$ интегрируема на $(a,b]$ т.е. сходится интеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$
2. Функция $g(x)$ ограничена и монотонна на $(a,b]$.

Признак Абеля сходимости числовых рядов

Признак Абеля дает достаточные условия сходимости числового ряда.

Числовой ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ сходится, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность $a_n$ монотонна и ограничена.
2. Числовой ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ сходится.

Признак Абеля сходимости функциональных рядов

Признак Абеля дает достаточные условия равномерной сходимости функционального ряда. Функциональный ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x)u_n(x)$,

где $a_n(x):E\mapsto ℝ,u_n(x):E\mapsto ℂ,E\subseteq {ℝ}^d$, сходится равномерно на множестве $E$, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций $a_n(x)$ равномерно ограничена на $E$ и монотонна для любых $x$ из $E$.
2. Функциональный ряд комплекснозначных функций $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n(x)$ равномерно сходится на $E$.

См. также

• Признак Д’Аламбера
• Признак Дирихле
• Радикальный Признак Коши
• Интегральный признак Коши

Ссылки

• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback c 253-254, c 277, c 290-291
• Шаблон:Книга c 316 — 318

Шаблон:Навигационная таблица