Радикальный признак Коши

Шаблон:Другие значения Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

с неотрицательными членами существует такое число $q$, $0<q<1$, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

$\sqrt[n]{a_n}⩽q$,

то данный ряд сходится; если же, начиная с некоторого номера

$\sqrt[n]{a_n}>1$

то ряд расходится.

Если $\sqrt[n]{a_n}=1$, то это сомнительный случай и необходимы дополнительные исследования.

Если же, начиная с некоторого номера, $\sqrt[n]{a_n}<1$, при этом не существует такого $q$, $0<q<1$, что $\sqrt[n]{a_n}⩽q$ для всех $n$, начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Предельная форма

Если существует предел

$\rho =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}$,

то рассматриваемый ряд сходится если $\rho <1$, а если $\rho >1$ — расходится.

Замечание 1. Если $\rho =1$, то радикальный признак Коши не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если $\rho =1$, но последовательность $\sqrt[n]{a_n}$ стремится к своему пределу $\rho$ сверху, то ряд расходится.

Доказательство

Если признак Коши выполняется для последовательности $\{a\}$, начиная с некоторого номера $N$, то можно рассмотреть подпоследовательность последовательности $\{a\}$, как раз начиная с этого номера. Ряд, составленный из такой подпоследовательности, будет сходиться. Но тогда будет сходиться и исходный ряд, поскольку конечное число $N-1$ начальных членов последовательности $\{a\}$ не влияет на сходимость ряда. В таком случае для упрощения доказательства имеет смысл принять $N=1$, то есть принять, что признак Коши выполняется для всех натуральных $n$.

1. Пусть для всех натуральных $n$ верно неравенство $\sqrt[n]{a_n}⩽q$, где $0<q<1$. Тогда можно записать $a_1\le q$, $\sqrt{a_2}\le q$, …, $\sqrt[n]{a_n}\le q$ , и так далее. Поскольку и $q$, и все члены последовательности $\{a\}$ неотрицательны, систему неравенств можно переписать так: $a_1\le q$, $a_2\le q^2$, …, $a_n\le q^n$ , и так далее. Складывая первые $n$ неравенств, получим $a_1+...+a_n\le q+...+q^n$. Это означает, что $n$-я частичная сумма ряда меньше $n$-й частичной суммы убывающей геометрической прогрессии с начальным членом $q$. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии сходится, поэтому по признаку сравнения знакоположительных рядов исходный ряд тоже сходится.
2. Пусть $\sqrt[n]{a_n}\ge 1$ (для всех натуральных $n$): тогда можно записать $a_n\ge 1$. Это означает, что модуль членов последовательности $\{a\}$ не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность $\{a\}$ не стремится к нулю. Необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется. Поэтому ряд расходится.
3. Пусть $\sqrt[n]{a_n}<1$ для всех натуральных $n$. При этом не существует такого $q$, $0<q<1$, что $\sqrt[n]{a_n}⩽q$ для всех натуральных $n$. В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ и $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$ удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ верно $\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{\sqrt[n]{n}}={\left(\frac{1}{n}\right)}^{\frac{1}{n}}<1$ для любого натурального $n$, кроме $n=1$. В то же время, поскольку $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=1$, это означает, что для любого $q$, $0<q<1$ можно подобрать такое число $\epsilon$, что $1-\epsilon >q$ , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности $\{b\}$, где $b_n=\sqrt[n]{a_n}$, будут находиться на интервале $(1-\epsilon ;1)$, то есть $b_n>q$. А это и означает, что не существует такого $q$, $0<q<1$, что $\sqrt[n]{a_n}⩽q$ для всех натуральных $n>1$. Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда: точно также для всех $n>1$ верно $\sqrt[n]{|a_n|}<1$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=1$. Но при этом второй ряд сходится.

Примеры

1. Ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{2^n}$

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}$

2. Рассмотрим ряд

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^{n(n-1)}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}^{n-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{2}{n+1})}^{n-1}=e^{-2}<1\Rightarrow$ряд сходится.

См. также

• Признак Жамэ
• Интегральный признак Коши — Маклорена