Геометрическая прогрессия

Шаблон:Значения Геометри́ческая прогре́ссия (иногда также кра́тная прогрессия)— последовательность чисел $b_1$, $b_2$, $b_3$, $\dots$ (члены прогрессии), в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих членов, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на ненулевое число $q$ (знаменатель прогрессии, или коэффициент). Выражаясь математически: $b_1\ne 0,q\ne 0;b_{n+1}=b_n\cdot q,n\in \mathbb{N},n⩾2$.

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

$b_n=b_1{q}^{n-1}.$

Если каждый член геометрической прогрессии больше предыдущего, то прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей.

Геометрическая прогрессия возрастает, если выполняется один из наборов условий:

$b_1>0$ и $q>1$

или

$b_1<0$ и $0<q<1$.

Геометрическая прогрессия убывает, если выполняется один из наборов условий:

$b_1<0$ и $q>1$

или

$b_1>0$ и $0<q<1$.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

При $q<0$ — знакочередующейся, при $q=1$ — стационарной (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

$|b_n|=\sqrt{b_{n-1}{b}_{n+1}},$

то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов.

Однако это не только свойство, но и признак геометрической прогрессии, формулировка которого звучит следующим образом: Шаблон:ТеоремаДанный признак можно расширить на другие случаи. Если её члены отрицательны, получим $b_n=-\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$, где $n⩾2$.

Если знаки членов прогрессии чередуются, получим $b_n={(-1)}^{n+j}\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$, где $j=0$ либо $j=1$ и $n⩾2$.

Графическая интерпретация

Если на координатной плоскости нанести точки с координатами $(n;b_n)$, где $n$ — номер (натуральное число), а $b_n$ — $n$-й член некоторой геометрической прогрессии, у которой $q>0$, то все точки будут принадлежать графику функции:

$y=b_1\cdot q^{x-1}=\frac{b_1}{q}\cdot q^x,$

где $q$ — это знаменатель геометрической прогрессии, а $b_1$ — её первый член.

Это означает, что справедлива теорема:Шаблон:Теорема

Примеры

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

• Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадратаШаблон:Rp.
• Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
• Шаблон:Nums — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
• 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
• $\pi$, $\pi$, $\pi$, $\pi$ — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
• 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
• 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

Свойства знаменателя геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

• $q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$

• $q=\sqrt[n-k]{\frac{b_n}{b_k}},\text{где }k<n;\mathrm{\forall }n,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}.$

Свойства членов геометрической прогрессии

• Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:

$b_n=b_{n-1}\cdot q$

• Формула общего ($n$-го) члена:

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}.$

• Обобщённая формула общего члена:

$b_n=b_k\cdot q^{n-k},\text{где }k<n;\mathrm{\forall }n,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}.$

• $b_n^2=b_{n-i}{b}_{n+i}$, если $1<i<n$.

• Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

• $b_n^2=b_{n-i}{b}_{n+i}$, если $1<i<n$.

• Произведение первых $n$ членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле

  $P_n={(b_1\cdot b_n)}^{\frac{n}{2}}.$

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

  $P_{k,n}=\frac{P_n}{P_{k-1}}.$

• Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии

  $S_n=\{\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^n{b}_i=\frac{b_1-b_1{q}^n}{1-q}=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q},& \text{if }q\ne 1\\ \\ n{b}_1,& \text{if }q=1\end{array}$

• Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому сумма $n$ первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии стремится и неограниченно приближается с ростом $n$. Сумма всех членов убывающей прогрессии:

$\left|q\right|<1$, то $b_n\to 0$ при $n\to +\mathrm{\infty }$, и

$S_n\to \frac{b_1}{1-q}$ при $n\to +\mathrm{\infty }$.

Свойства суммы геометрической прогрессии

• $b_{n+1}=S_{n+1}-S_n$
• $S_n={\sigma }_n\cdot b_1{b}_n$

где ${\sigma }_n$ — сумма обратных величин, то есть ${\sigma }_n=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\cdots +\frac{1}{b_{n-1}}+\frac{1}{b_n}$.

Свойства произведения геометрической прогрессии

Произведением первых $n$ членов геометрической прогрессии $\left\{b_n\right\}$ называется произведение от $b_1$ до $b_n$, то есть выражение вида $\prod _{i=1}^n{b}_i=b_1\cdot b_2\cdot b_3\cdot \dots \cdot b_{n-2}\cdot b_{n-1}\cdot b_n.$ Обозначение: $P_n$.

• $P_n=b_1^n\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}$
• $b_{n+1}=\frac{P_{n+1}}{P_n}$
• $P_{2n}=P_n\cdot \sqrt[3]{P_{3n}}$
• $\sqrt[k]{P_k^{l-m}}\cdot \sqrt[l]{P_l^{m-k}}\cdot \sqrt[m]{P_m^{k-l}}=1$

См. также

• Арифметическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия
• Числа Фибоначчи
• Показательная функция
• Сумма ряда