Показательная функция

Показательная функция — математическая функция $f(x)=a^x$, где $a$ называется основанием степени, а $x$ — показателем степени.

• В вещественном случае основание степени $a$ — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
• В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
• В самом общем виде — $u^v$, введена Лейбницем в 1695 г.

График экспоненты

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание $a$ может быть представлено в виде степени числа е ($a=e^{\ln a}$), понятие «экспонента» часто употребляют как синоним «показательной функции».

Вещественная функция

Определение показательной функции

Пусть $a$ — неотрицательное вещественное число, $x$ — рациональное число: $x=\frac{m}{n}$. Тогда $a^x$ определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.

• Если $x>0$, то $a^x=\sqrt[n]{a^m}$.
• Если $x=0$ и $a\ne 0$, то $a^x=1$.
  • Значение $0^0$ не определено (см. Ноль в степени ноль).
• Если $x<0$ и $a>0$, то $a^x=\frac{1}{a^{|x|}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{|m|}}}$.
  • Значение $a^x$ при $x<0,a=0$ не определено.

Для произвольного вещественного показателя $x$ значение $a^x$ можно определить как предел последовательности

$a^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{r_n}$

где $\{r_n\}$ — последовательность рациональных чисел, сходящихся к $x$. То есть

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{r}_n=x$

Свойства

Свойства возведения в степень:

• $a^0=1$
• $a^{x+y}=a^x{a}^y$
• $(a^x{)}^y=a^{xy}$
• $(ab{)}^x=a^x{b}^x$
• $a^x$ / $b^x$ = $(a/b{)}^x$

Промежутки монотонности:

Показательная функция с основаниями 2 и 1/2

При $a>1$ показательная функция всюду возрастает, причём:

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^n}{a^x}=0$ (для всякого $n$)
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

При $0<a<1$ функция, соответственно, убывает, причём:

• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^n}{a^x}=0$ (для всякого $n$)
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

То есть показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной. Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Обратная функция:

По аналогии с введением функции корня для степенной введём логарифмическую функцию, обратную показательной:

$f(x)=a^x,f^{-1}(x)={\log }_{a}x$ (логарифм $x$ по основанию $a$)

Число е:

Отметим уникальное свойство показательной функции, найдём $a_0:(a_0^x){\text{'}}_x=a_0^x$ (такое число $a$, производная показательной функции которого равна самой функции):

$\frac{d}{dx}{a}_0^x=a_0^x\iff a_0^{x+dx}-a_0^x=a_0^{x}dx$

Возможность определения $a_0$ легко увидеть после сокращения на $a_0^x$:

$a_0^{dx}=1+dx\iff a_0={(1+dx)}^{1/dx}$

Выбирая $dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}$, окончательно получим число Эйлера:

$a_0\equiv e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$

Отметим, что функцию $e^x$ можно иначе представить в виде ряда: (справедливость легко установить почленным дифференцированием):

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

Откуда имеем более точное приближение:

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$

Единственность числа $e$ легко показать, варьируя $e^x$. Действительно, если $e_1^x$ пройдёт где-то выше, чем $e^x$, то на том же промежутке найдётся область, где $(e_1^x{)}^{\prime }<e^x$.

Дифференцирование:

Используя функцию натурального логарифма $\ln x:e^{\ln x}=x$, можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту. По свойству степени: $a^x=e^{\ln (a)x}$, откуда по свойству экспоненты и по правилу дифференцирования сложной функции:

$(a^x{)}^{\prime }=\ln (a)a^x$

Неопределённый интеграл:

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

Потенцирование и антилогарифм

Изображение функции нахождения десятичного (10^x) и натурального (e^x) антилогарифмов в микрокалькуляторе «Электроника МК-51»

Потенцирование (от Шаблон:Lang-de) — нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения ${\log }_{a}x=b$. Из определения логарифма вытекает, что $x=a^b$, таким образом, возведение $a$ в степень $b$ может быть названо другими словами «потенцированием $b$ по основанию $a$», или вычислением показательной функции от $b$.

Антилогарифм числа x — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании $a$) равен числу $x$:

$\mathrm{ant}{\log }_{a}x=a^x.$

Термин «антилогарифм» введен Валлисом в 1693 году. Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в логарифмических таблицах, логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Например, для извлечения кубического корня из числа $a$ по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа $a,$ разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.

Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию $e$ или 10 называется натуральным или десятичным, соответственно.

Антилогарифм также называют обращённым логарифмом.

В инженерных калькуляторах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций: $e^x$ и $10^x$.

Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

$e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots$

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для $e^{ix}$ вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

$e^{z+2\pi i}=e^z$

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: $i^i=e^{i\cdot \ln (i)}$; поскольку $\ln (i)=i\frac{\pi }{2}$ (главное значение логарифма), окончательно получаем: $i^i=e^{i\frac{i\pi }{2}}=e^{-\frac{\pi }{2}}$.

См. также

• Возведение в степень
• Ограничение складывания бумаги пополам
• Степенная функция
• Экспонента
• Двойная экспоненциальная функция

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:БСЭ3