Степенная функция

Степенна́я фу́нкция — функция $y=x^a$, где $a$ (показатель степени) — некоторое вещественное числоШаблон:Sfn. К степенным часто относят и функцию вида $y=k{x}^a$, где $k$ — некоторый (ненулевой) коэффициентШаблон:Sfn. Существует также комплексное обобщение степенной функцииШаблон:Переход.

Степенная функция является частным случаем многочлена. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Вещественная функция

Область определения

Для целых положительных показателей $a$ степенную функцию можно рассматривать на всей числовой прямой, тогда как для отрицательных $a$, функция не определена в нуле (нуль является её особой точкой)Шаблон:Sfn.

Для рациональных $a=\frac{p}{q}(q>0)$ область определения зависит от чётности $q$ и от знака $p.$ так как $x^a=\sqrt[q]{x^p}.$:

• Если $q$ нечётно и $p>0$, то $x^{p/q}$ определён на всей числовой прямой.
• Если $q$ нечётно и $p<0$, то $x^{p/q}$ определён на всей числовой прямой, кроме нуля.
• Если $q$ чётно и $p>0$, то $x^{p/q}$ определён при неотрицательных $x.$
• Если $q$ чётно и $p<0$, то $x^{p/q}$ определён при положительных $x.$

Для вещественного показателя $a$ степенная функция $x^a$, вообще говоря, определена только при $x>0.$ Если $a>0,$ то функция определена и в нулеШаблон:Sfn.

Целочисленный показатель степени

Графики степенной функции $y=x^n$ при целочисленном показателе $n$:

• 
  Параболы порядка n:Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда
• 
  Гиперболы порядка n:Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда Шаблон:Легенда

При нечётном $n$ графики центрально-симметричны относительно начала координат, в котором имеет точку перегиба. При чётном $n$ степенная функция чётна: $(-x{)}^n=x^n,$ её график симметричен относительно оси ординат.

Графики степенной функции при натуральном показателе $n>1$ называются параболами порядка $n$. При чётном $n$ функция всюду неотрицательна (см. графики). При $n=1$ получается функция $y=kx$, называемая линейной функцией или прямой пропорциональной зависимостьюШаблон:Sfn.

Графики функций вида $y=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$, где $n$ — натуральное число, называются гиперболами порядка $n$. При нечётном $n$ оси координат являются асимптотами гипербол. При чётном $n$ асимптотами являются ось абсцисс и положительное направление оси ординат (см. графики). При показателе $-1$ получается функция $y=\frac{k}{x}$, называемая обратной пропорциональной зависимостью.

При $a=0$ функция вырождается в константу: $y=1.$

Рациональный показатель степени

• 
  Графики степенных функций с рациональным показателем
• 
  Полукубические параболы $y=a{x}^{3/2}$

Возведение в рациональную степень $p/q$ определяется формулой:

$x^{p/q}=\sqrt[q]{x^p}.$

Если $p=1$, то функция представляет собой арифметический корень степени $q$:

$y=x^{1/q}=\sqrt[q]{x}.$

Пример: из третьего закона Кеплера непосредственно вытекает, что период $T$ обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью $A$ её орбиты соотношением: $T=k{A}^{3/2}$ (полукубическая парабола).

Свойства

Монотонность

В интервале $(0,\mathrm{\infty })$ функция монотонно возрастает при $a>0$ и монотонно убывает при $a<0.$ Значения функции в этом интервале положительны.

Аналитические свойства

Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определенаШаблон:Sfn.

Производная функции: ${\left(x^a\right)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$.

Ноль, вообще говоря, является особой точкой. Так, если $a<n$, то $n$-я производная в нуле не определена. Например, функция $y=\sqrt{x}=x^{1/2}$ определена в нуле и в его правой окрестности, но её производная $y=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ в нуле не определена.

Неопределённый интегралШаблон:Sfn:

• Если $a\ne -1$, то $\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$
• При $a=-1$ получаем: $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

Таблица значений малых степеней

n	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8	n9	n10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число
4	16	64	256	1024	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число
5	25	125	625	3125	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число
6	36	216	1296	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число
7	49	343	2401	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число
8	64	512	4096	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число
9	81	729	6561	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число
10	100	1000	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число	Шаблон:Число

Комплексная функция

Степенная функция комплексного переменного $z$ в общем виде определяется формулойШаблон:Sfn:

$y=z^c=e^{c\cdot \mathrm{Ln}(z)}$

Здесь показатель степени $c$ — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение $i^i$ равно $e^{-(4k+1)\frac{\pi }{2}},$ где $k$ — произвольное целое, а его главное значение есть $e^{i\ln (i)}=e^{-\frac{\pi }{2}}.$

Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

1. При натуральном показателе степени функция $y=z^n$ однозначна и n-листна.
2. Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь $\frac{p}{q}$, то у функции будет $q$ различных значений.

См. также

• Логарифм
• Целая рациональная функция
• Показательная функция
• Степенной закон в статистике

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:БРЭ