Формула Эйлера

Геометрический смысл формулы Эйлера

Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа $x$ выполнено следующее равенство:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

где $e$ — одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой: $e=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x$,

$i$ — мнимая единица.

История

Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (Шаблон:Lang-la), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году и перепечатана в книге «Гармония мер» (Шаблон:Lang-la), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора. Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид:

$\ln (\cos x+i\sin x)=ix$.

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (Шаблон:Lang-la) (1748), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у К. Весселя.

Производные формулы

При помощи формулы Эйлера можно определить функции $\sin$ и $\cos$ следующим образом:

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$,

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$.

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть $x=iy$, тогда:

$\sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathrm{s}\mathrm{h}y$,

$\cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathrm{c}\mathrm{h}y$.

Известное тождество Эйлера, связывающее три фундаментальные математические константы:

$e^{i\pi }+1=0$

является частным случаем формулы Эйлера при $x=\pi$.

Применение в теории чисел

В аналитической теории чисел часто рассматриваются специальные суммы вида $\sum _{x\in X}{e}^{2\pi if(x)}$, где $X$ — некоторое множество рассматриваемых объектов, а $f:X\to ℝ$ — функция, отражающая изучаемые свойства объектов.

Для теории чисел, изучающей целые числа, имеют значение прежде всего выводимые из формулы Эйлера индикаторные тождества, касающиеся произвольного целого числа $n$.

$\sum _{k=1}^p{e}^{2\pi \frac{nk}{p}i}=p[p|n]=\{\begin{array}{cc}p,& n\equiv 0(\mathrm{mod}p)\\ 0,& n\equiv ̸0(\mathrm{mod}p)\end{array}$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{2\pi n\alpha i}=[n=0]=\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n=0\end{array}$

Применение в комплексном анализе

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: $x=a+ib=|x|(\cos \phi +i\sin \phi )=|x|e^{i\phi }$.

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: $x=|x|e^{i\phi }$, $x^n=|x{|}^n{e}^{ni\phi }$. Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа $x$ в степень $n$ его расстояние до центра возводится в степень $n$, а угол поворота относительно оси $OX$ увеличивается в $n$ раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых $n$, но и для вещественных. В частности, показательная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа.

Взаимосвязь с тригонометрией

Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

$\cos x=\mathrm{R}\mathrm{e}\left(e^{ix}\right)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin x=\mathrm{I}\mathrm{m}\left(e^{ix}\right)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos x-i\sin x$

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

$\cos (iy)=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\cosh (y)$

$\sin (iy)=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=-\frac{1}{i}\frac{e^y-e^{-y}}{2}=i\sinh (y).$

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например:

$\begin{array}{cc}\cos x\cdot \cos y& =\frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2}\cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}\\ & =\frac{1}{2}[\underset{\cos (x+y)}{\underbrace{\frac{e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}}+\underset{\cos (x-y)}{\underbrace{\frac{e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}}].\end{array}$

Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:

$\begin{array}{cc}\cos (nx)& =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{inx}\}=\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\}\\ & =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix}-e^{-ix})\}\\ & =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{i(n-1)x}\cdot \underset{2\cos (x)}{\underbrace{(e^{ix}+e^{-ix})}}-e^{i(n-2)x}\}\\ & =\cos [(n-1)x]\cdot 2\cos (x)-\cos [(n-2)x].\end{array}$

Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).

Доказательство

Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием ряда Маклорена. Разложим функцию $e^{ix}$ в ряд Тейлора в окрестности точки a = 0 (в ряд Маклорена) по степеням $x$. Получим:

$e^{ix}=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\dots =(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots )+i(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots )$

Но

$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots =\cos x$

$\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots =\sin x$

Поэтому $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, что и требовалось доказать.

Наглядная демонстрация

Известно, что $e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n$. Нижеследующие изображения иллюстрируют, что предел $e^{i\phi }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{i\phi }{n})}^n$ равен точке, находящейся на единичной окружности, и длина дуги от этой точки до точки 1 равняется $\phi$. Это, в частности, связано с тем, что $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$.

• 
  n=1
• 
  n=2
• 
  n=3
• 
  n=4
• 
  n=5
• 
  n=6
• 
  n=8
• 
  n=16

Процесс изменения $e^{\phi i}$ при изменении $\phi$ можно также наглядно продемонстрировать через производную. Общеизвестно, что $\left(e^x\right)=e^x$ и $\left(e^{f(x)}\right)=f^{\prime }(x)e^{f(x)}$. Этот же факт остаётся верным и для комплексного значения функции. Рассматривая функцию $f(\phi )=e^{\phi i}$, получим $f^{\prime }(\phi )=if(\phi )$. Поскольку в геометрическом представлении комплексных чисел умножение на $i$ аналогично повороту на 90 градусов, то графическое изображение функции $f(\phi )=e^{\phi i}$ и её производной будет аналогично чертежу действия центростремительной силы, для которого известен физический смысл.

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число $z$ в тригонометрической форме имеет вид $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

$z=r{e}^{i\phi }$

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь $r=|z|$ , $\phi =\arg z$.

Литература

• Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37. Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback