Аналитическая теория чисел

Дзета-функция Римана ζ(s) на комплексной плоскости. Цвет точки s зависит от значения ζ(s): цвета, близкие к черному, соответствуют значениям, близким по модулю к нулю, а тон зависит от аргумента значения.

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.

Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида

$a_1{x}_1+...+a_n{x}_n=N,$

где $a_1,...,a_n$ — натуральные числа, Эйлер построил производящую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при $|z|<1$)

$F_i(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(z^{a_i}{)}^k$

и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом

$F(z)=\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}l(N)z^N,$

где $l(N)$ — число решений изучаемого уравнения.

В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида

$S(a)=\sum _{n=1}^p{e}^{2\pi ia{n}^2/p},$

которые положили начало использованию тригонометрических сумм. Основы методов применения тригонометрических сумм к анализу уравнений в целых и простых числах были разработаны Харди, Литтлвудом и Виноградовым.

Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел, Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:

${\mathrm{\Pi }}_p{(1-\frac{1}{p^s})}^{-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$,

которое стало основанием для теорий дзета-функций. Наиболее известной и до сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения $\zeta (s)=0$ лежат на так называемой критической прямой $\mathrm{R}\mathrm{e}s=\frac{1}{2}$, где $\zeta$ — дзета-функция Римана.

Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что

${\mathrm{\Pi }}_p{(1-\frac{\chi (p)}{p^s})}^{-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}$,

при этом функция $\chi (p)$, получившая название характер Дирихле, определена так, что удовлетворяет следующим условиям: она является периодической, вполне мультипликативной и не равна тождественно нулю. Характеры и ряды Дирихле нашли применение и в других разделах математики, в частности в алгебре, топологии и теории функций.

Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходящих $X$, обозначенное как $\pi (X)$, стремится к бесконечности по следующему закону:

$a\frac{X}{\ln (X)}<\pi (X)<b\frac{X}{\ln (X)}$, где $a>1/2\ln 2$ и $b<2\ln 2$.

Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.

См. также

• Теория чисел

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга