Тригонометрическая сумма

Пример: тригонометрическая сумма над квадратичными вычетами по модулю $m=11$. Разнонаправленность векторов (изгиб пути из разноцветных линий) делает абсолютное значение суммы (длину жёлтой линии) меньше числа слагаемых. Это общий момент для тригонометрических сумм в целом, а модуль таких сумм при растущем $m$ и вовсе имеет порядок $\sqrt{m}$.

Тригонометрическая сумма — это конечная сумма комплексных чисел, геометрически соответствующих векторам на единичной окружности, то есть вида $e(\phi ):=\cos \phi +i\sin \phi .$

Такие суммы по значениями $\phi$, образованным из множества чисел или элементов группы, изучаются в аналитической теории чисел. Верхние оценки на них позволяют оценивать число решений уравнений с переменными из рассматриваемых множеств.

Геометрические свойства синусов и косинусов из определения $e(\phi )$ не играют в методе ключевой роли. Формула Эйлера

$e(\phi )=e^{2\pi \phi i}$

позволяет интерпретировать слагаемые как степени друг друга и использовать для оценки сумм свойства возведения в степень и геометрических прогрессий.

Когда $\phi$ рационально, слагаемое является корнем из единицы. В современной литературе принято обозначение

$e_q(a):=e\left(\frac{a}{q}\right)=e^{2\pi \frac{a}{q}i}.$

Суммы с такими слагаемыми используются для изучения множеств значений по модулю $q$. Они наиболее популярны.

Метод тригонометрических сумм — один из самых мощных и развивающихся в современной теории чисел. Лишь некоторые виды сумм изучены достаточно хорошо, чтобы результаты о них можно было классифицировать, а уровень знаний считать устоявшимся. Для приложений в теории чисел бывает достаточно очень слабых, но нетривиальных оценок той или иной тригонометрической суммы. Часто такие оценки изучаются и просто сами по себе, ввиду общепризнанной важности развития методов их изучения.

Основные свойства

Через тригонометрические суммы можно выражать утверждения о равенстве нулю:

• для любых $m\in \mathbb{N},a\in \mathbb{Z}$ верно, что $\sum _{x=0}^{m-1}{e}_m(ax)=\{\begin{array}{cc}m,& a\equiv 0(\mathrm{mod}m)\\ 0,& a\equiv ̸0(\mathrm{mod}m)\end{array}$;

• аналогично, для любого $n\in \mathbb{Z}$ верно, что $\underset{0}{\overset{1}{\int }}e(\alpha n)d\alpha =\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n=0\end{array}$.

Используя общую структуру абелевых групп, можно получить аналогичные выражения для любой такой группы вместо ${\mathbb{Z}}_m$ и $\mathbb{Z}$.

При выводе оценок часто используют соображения о том, что:

• произведение и сопряжение (а значит, и чётные степени модулей) тригонометрических сумм также будет тригонометрической суммой — перемножая суммы, по-разному группируя слагаемые и применяя неравенство Гёльдера, можно переходить от одного множества или уравнения к другим, решая ту же задачу;

• для любых ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_n$ верна тривиальная оценка $\left|\sum _{i=1}^{n}e({\phi }_i)\right|\le n$.

Приложения

Число решений уравнений

Выражение

Для множеств $A_1,\dots ,A_k$ и функции $f:A_1\times \dots \times A_k\to {\mathbb{Z}}_m$ число решений уравнения

$f(x_1,\dots ,x_k)\equiv 0(\mathrm{mod}m),x_1\in A_1,\dots ,x_k\in A_k$

можно выразить через тригонометрическую сумму как сумму скобок Айверсона:

$\sum _{x_1\in A_1,\dots ,x_k\in A_k}[f(x_1,\dots ,x_k)\equiv 0(\mathrm{mod}m)]=\frac{1}{m}\sum _{x_1\in A_1,\dots ,x_k\in A_k}\sum _{t=0}^{m-1}{e}_m(tf(x_1,\dots ,x_k)).$

Аналогично, для целочисленной $f$ и решений $f(x_1,\dots ,x_k)=0$ допустимо представление

$\sum _{x_1\in A_1,\dots ,x_k\in A_k}[f(x_1,\dots ,x_k)=0]=\sum _{x_1\in A_1,\dots ,x_k\in A_k}\underset{0}{\overset{1}{\int }}e(\alpha f(x_1,\dots ,x_k))d\alpha .$

Эти конструкции легко обобщить на системы уравнений.

В качестве уравнения может выступать в том числе формула представления числа в виде суммы — типичный объект изучения аддитивной теории чисел.

Использование

Тригонометрические выражения наиболее полезны когда функция $f$ хорошо разлагается на слагаемые. Например, если

$f(x_1,\dots ,x_k)=f_1(x_1)+\dots +f_k(x_k),$

то, меняя порядок суммирования, можно получить выражение

$\sum _{x_1\in A_1,\dots ,x_k\in A_k}\sum _{t=0}^{m-1}{e}_m(t(f_1(x_1)+\dots f_k(x_k)))=\sum _{t=0}^{m-1}\prod _{i=1}^k\left(\sum _{x_i\in A_i}{e}_m(t{f}_i(x_i))\right)\le \sum _{t=0}^{m-1}\prod _{i=1}^k\left|\sum _{x_i\in A_i}{e}_m(t{f}_i(x_i))\right|.$

Суммы $\sum _{x_i\in A_i}{e}_m(t{f}_i(x_i))$ по отдельности друг от друга не имеют комбинаторной интерпретации, но могут быть оценены аналитически. Именно это делает метод тригонометрических сумм нетривиальным.

При $t=0$ все слагаемые вырождаются в $e(0)=1$, так что эта часть суммы всегда равна $|A_1|\dots |A_k|$ и называется главным членом. Поэтому оценки числа решений через тригонометрические суммы чаще всего не могут быть лучше чем $\frac{|A_1|\dots |A_k|}{m}$. В частности, именно такая величина нужна в доказательстве равномерного распределения. При работе с интегралами роль главного члена среди интервала $[0;1]$ выполняют окрестности несократимых дробей с малыми знаменателямиШаблон:Sfn.

Нюансы

О связи уравнений и тригонометрических сумм следует отметить два нюанса. Во-первых, иногда бывает удобно переходить не от уравнения к суммам, а наоборот в ходе оценке суммы после её преобразований переходить к анализу простого или известного уравнения. Во-вторых, чисто комбинаторные преобразования уравнений можно выражать на языке тригонометрических сумм. Поэтому в литературе, посвящённой тригонометрическим суммам, часто эти преобразования так и излагают, без упоминания о том, что то же самое можно сделать элементарно. Тем не менее, существует много случаев, когда прямое элементарное переложение невозможно.

Равномерное распределение

Если функцию, так или иначе связанную с умножением, применить к интервалу, то тригонометрическая сумма над получившимся множеством, как правило, будет иметь порядок $\sqrt{n}$, где $n$ — длина интервала (число слагаемых). Этот эффект известен как «square-root barier» и свидетельствует о равномерном распределении множества с очень малым остаточным членом (порядка $\sqrt{n}\log p$).
На графике $g$ — первообразный корень, $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}$ — дискретный логарифм. Для других больших интервалов вместо $[1;p/5]$ результаты будут похожими.

Для любого интервала $I=\{M,M+1,\dots ,N-1,N\}$ в кольце вычетов ${\mathbb{Z}}_m$ можно оценить связанную с ним тригонометрическую сумму

$\sum _{a=1}^m\left|\sum _{x\in I}{e}_m(ax)\right|\le m\ln m$

Благодаря этому оценку тригонометрических сумм над множеством в ${\mathbb{Z}}_m$ можно преобразовывать в утверждение о его равномерном распределении в ${\mathbb{Z}}_m$:

Шаблон:Рамка Если для множества $A\subset {\mathbb{Z}}_m$ и любого $t\in {\mathbb{Z}}_m\setminus \{0\}$ верна оценка $\left|\sum _{a\in A}{e}_m(ta)\right|=o\left(\frac{|A|}{\log m}\right)$, то для любых $0\le {\delta }_1<{\delta }_2\le 1$ можно показать, что $|A\cap [{\delta }_{1}m;{\delta }_{2}m]|=({\delta }_2-{\delta }_1+o(1))|A|$ Шаблон:Конец рамки

Чаще всего подобные результаты удобно получать для простого $m$. Известны оценки таких сумм для квадратичных вычетовШаблон:Sfn, других степеней, индексов (дискретных логарифмов) чисел из интервала, обратных элементов для интервала и даже для произвольной мультипликативной подгруппы размера $p^{\epsilon }$ (для любого фиксированного $\epsilon >0$). Похожий метод применим для доказательства равномерного распределения вещественных последовательностей в интервале $(0;1)$.

По аналогии с этим, суммы мультипликативных характеров можно воспринимать как показатель равномерности относительно структуры мультипликативной группы ${𝔽}_p$. Такие суммы хорошо изучены для интервалов, множества значений многочленов и сдвигов простых чиселШаблон:Sfn.

История

Первое использование тригонометрических сумм относят к исследованию Гаусса о квадратичном законе взаимности (1795 г.). Он оценивал суммы с квадратичными вычетами, то есть вида $\sum _{x=1}^p{e}_p(a{x}^2),a\in {\mathbb{Z}}_p$. Вскоре Дирихле применил суммы характеров с коэффициентами к изучению распределения простых чисел в арифметических прогрессиях.

В конце XIX — начале XX века тригонометрических суммы стали использовать для исследования распределения последовательностейШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Значимым событием стало применение тригонометрических сумм к решению проблемы Варинга двумя способами: круговым методом Харди-Литтлвуда и переосмыслившим его методом И. М. ВиноградоваШаблон:Sfn. Виноградов впоследствии развил свой метод для получения результатов о простых числах, в том числе решения тернарной проблемы Гольдбаха для достаточно больших чисел и аналога проблемы Варинга для простых чисел.

Клаус Рот и позже Уильям Тимоти Гауэрс применили технику кругового метода для доказательства теоремы Семереди. Впоследствии тригонометрические суммы были использованы во многих задачах аддитивной комбинаторикиШаблон:Sfn.

Суммы с собственными названиями

• суммы Рамануджана для $a\in {\mathbb{Z}}_q,(a,q)=1$:

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le x\le q}{(x,q)=1}}{e}_q(ax)$

• суммы Гаусса $a\in {\mathbb{Z}}_q$:

$\sum _{x=1}^q{e}_q(a{x}^2)$

• суммы Вейля для многочлена $f$ с вещественными (не целыми) коэффициентами и интервала $[a;b]$:

$\sum _{a\le n\le b}e(f(n))$

• суммы Клоостермана, связанные с обратными элементами $x^{-1}$, где $x\in {\mathbb{Z}}_p,x{x}^{-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$. Например, для $a,b\in {\mathbb{Z}}_q$:

$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le x\le q}{(x,q)=1}}e(ax+b{x}^{-1})$

• дискретное преобразование Фурье для индикаторной функции множества $A\subset {\mathbb{Z}}_m,t\in {\mathbb{Z}}_m$:

$\hat{A}(t)=\sum _{a\in A}{e}_m(at)$

• мультилинейные суммы для множеств $A_1,\dots ,A_k\subset {\mathbb{Z}}_m$:

$\sum _{a_1\in A_1}\dots \sum _{a_k\in A_k}{e}_m(a_1\dots a_k)$

• суммы мультипликативных характеров по множеству $A\subset {𝔽}_p^{*}$ (функция $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}$ означает дискретный логарифм, а параметр $t\in {\mathbb{Z}}_p$ соответствует выбранному характеру):

$\sum _{a\in A}{e}_p(t\cdot \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(a)),$

Обобщения

При изучении некоммутативных групп характеры представлений можно использовать для определения аналогов коэффициентов Фурье.

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья