Неравенство Гёльдера

Шаблон:Нет сносок Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств $L^p$.

Формулировка

Пусть $(X,ℱ,\mu )$ — пространство с мерой, а $L^p\equiv L^p(X,ℱ,\mu )$ — пространство функций вида $f:X\to ℝ$ с конечной интегрируемой Шаблон:Nobr степенью. Тогда в последнем определена полунорма:

$\Vert f{\Vert }_p={(\underset{X}{\int }|f(x){|}^p\mu (dx))}^{1/p}$,

где $p\ge 1$ , обычно подразумевается, что это натуральное число.

Пусть $f\in L^p$, а $g\in L^q$, где $p,q\ge 1,1/p+1/q=1$. Тогда $f\cdot g\in L^1$, и

$\Vert f\cdot g{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\cdot \Vert g{\Vert }_q$.

Доказательство

Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы.
Пусть $X$ — пространство с мерой $\mu$, $E\subset X$, $E$ измеримо. Тогда:
$f\in L^p,g\in L^q,p>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\Rightarrow \underset{E}{\int }|fg|d\mu <+\mathrm{\infty },\underset{E}{\int }\left|fg\right|d\mu \le {(\underset{E}{\int }|f{|}^{p}d\mu )}^{1/p}{(\underset{E}{\int }|g{|}^{q}d\mu )}^{1/q}$
Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
$a,b\ge 0,p>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\Rightarrow a^{1/p}{b}^{1/q}\le \frac{a}{p}+\frac{b}{q}$

Положим
$a=\frac{|f(x){|}^p}{\underset{E}{\int }|f{|}^{p}d\mu }b=\frac{|g(x){|}^q}{\underset{E}{\int }|g{|}^{q}d\mu }{I}_1=\underset{E}{\int }|f{|}^{p}d\mu >0I_2=\underset{E}{\int }|g{|}^{q}d\mu >0$

Применяя неравенство, получаем:
$|f(x)g(x)|\le I_1^{1/p}{I}_2^{1/q}(\frac{|f(x){|}^p}{p\cdot I_1}+\frac{|g(x){|}^q}{q\cdot I_2})$

Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству $E$ (отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по $E$, получаем:
$\underset{E}{\int }|fg|d\mu \le I_1^{1/p}{I}_2^{1/q}(\frac{1}{p}+\frac{1}{q})=I_1^{1/p}{I}_2^{1/q}$
Неравенство Гельдера доказано.
Примечание: Если $I_1$ или $I_2$ равен 0, то это значит, что $f$ или $g$ эквивалентны нулю на $E$, и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.

Частные случаи

Неравенство Коши — Буняковского

Положив $p=q=2$, получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства $L^2$.

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство $E={ℝ}^n$ или ${ℂ}^n$. $L^p$-норма в этом пространстве имеет вид:

$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p},x=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{\top }}$,

и тогда

$\sum _{i=1}^n|x_i\cdot y_i|\le {(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^q)}^{1/q},\mathrm{\forall }x,y\in E$.

Пространство l^p

Пусть $X=\mathbb{N},ℱ=2^{\mathbb{N}},m$ — счётная мера на $\mathbb{N}$. Тогда множество всех последовательностей $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, таких что:

$\Vert x{\Vert }_p=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p<\mathrm{\infty }$,

называется $l^p$. Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n\cdot y_n|\le {(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n{|}^p)}^{1/p}\cdot {(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|y_n{|}^q)}^{1/q},\mathrm{\forall }x\in l^p,y\in l^q$.

Вероятностное пространство

Пусть $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ — вероятностное пространство. Тогда $L^p(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ состоит из случайных величин с конечным $p$-м моментом: $𝔼[|X{|}^p]<\mathrm{\infty }$, где символ $𝔼$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид:

$𝔼|XY|\le {(𝔼|X{|}^p)}^{1/p}\cdot {(𝔼|Y{|}^q)}^{1/q},\mathrm{\forall }X\in L^p,Y\in L^q$.

См. также

• Пространство Lp
• Неравенство Йенсена
• Гёльдер, Отто
• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга