Неравенство Юнга

Неравенство Юнга (Янга) — соотношение для непрерывной строго возрастающей функции $f$, обращающейся в нуль в нуле: для любых $a⩾0$ и $b⩾0$ выполненоШаблон:Sfn:

Графическая демонстрация неравенства — площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ не может быть больше суммы площадей фигур под графиками $f$ (красной) и $f^{-1}$ (жёлтой), ограниченных $(0,a)$ и $(0,b)$ соответственно

$ab⩽\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx+\underset{0}{\overset{b}{\int }}{f}^{-1}(x)dx$,

где $f^{-1}$ — функция, обратная $f$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $b=f(a)$.

Установлено в 1912 году Уильямом Янгом.

Естественное следствие — $ab⩽af(a)+b{f}^{-1}(b)$ (в тех же условиях)Шаблон:Sfn. Неравенство Фенхеля может быть рассмотрено как обобщение этого следствия — результат распространяется на пару выпукло-сопряжённых функций $f$ и $f^{*}$ в соответствующих векторных пространствах $a\in X$ и $b\in X^{*}$ (двойственном пространстве): $⟨a,b⟩⩽f(a)+f^{*}(b)$.

Шаблон:ЯкорьТакже из этого следствия при $f(x)=x^{p-1}$, и, соответственно $f^{-1}(y)=y^{q-1}$, может быть получено числовое неравенство Юнга: если $p,q>1$ — сопряжённые показатели (то есть такие числа, что $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$), то:

$ab⩽\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$;

равенство достигается при $a^p=b^q$. Этот результат весьма востребован в различных направлениях анализа, в частности, используется в доказательстве неравенства Гёльдера, применяется для оценки норм нелинейных членов дифференциальных уравнений в частных производных.

Шаблон:ЯкорьФункции:

$F(a)=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$ и $\mathrm{\Phi }(b)=\underset{0}{\overset{b}{\int }}{f}^{-1}(x)dx$

в связи с неравенством называются двойственными по ЮнгуШаблон:Sfn. Если $F_1$ двойственна по Юнгу с ${\mathrm{\Phi }}_1$, а $F_2$ — двойственна по Юнгу с ${\mathrm{\Phi }}_2$, то из $F_1(x)⩽F_2(x)$ при достаточно больших $x$ следует, что ${\mathrm{\Phi }}_1(x)⩾{\mathrm{\Phi }}_2(x)$ при достаточно больших $x$Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга