Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши́ — Буняко́вского говорит, что скалярное произведение векторов (в евклидовом или гильбертовом пространстве) по модулю не превосходит произведения их норм. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

Формулировка

Пусть дано линейное пространство $L$ со скалярным произведением $⟨x,y⟩$. Пусть $\Vert x\Vert$ — норма, порождённая скалярным произведением, то есть $\Vert x\Vert \equiv \sqrt{⟨x,x⟩},\mathrm{\forall }x\in L$. Тогда для любых $x,y\in L$ имеем:

$|⟨x,y⟩|⩽\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert ,$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $x$ и $y$ линейно зависимы (коллинеарны, или среди них есть нулевой).

Примеры

• Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^{n}1\right)\sum _{i=1}^n{x_i}^2=n\sum _{i=1}^n{x_i}^2$

• В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей $l^2$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

${\left|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k{\overline{y}}_k\right|}^2⩽(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k{|}^2)\cdot (\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|y_k{|}^2),$

где ${\overline{y}}_k$ обозначает комплексное сопряжение $y_k$.

• В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций $L^2(X,ℱ,\mu )$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

${|\underset{X}{\int }f(x)\overline{g(x)}\mu (dx)|}^2⩽(\underset{X}{\int }{|f(x)|}^2\mu (dx))\cdot (\underset{X}{\int }{|g(x)|}^2\mu (dx)).$

• В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом $L^2(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  ${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}}^2(X,Y)⩽\mathrm{D}[X]\cdot \mathrm{D}[Y],$

где $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}$ обозначает ковариацию, а $\mathrm{D}$ — дисперсию.

• Для двух случайных величин $\xi$ и $\eta$ неравенство Коши — Буняковского имеет вид:

  ${[𝐌(\eta \cdot \xi )]}^2⩽𝐌{\eta }^2\cdot 𝐌{\xi }^2.$

Литература

• Шаблон:Статья