Неравенство треугольника

Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторонШаблон:Sfn (или равносильная формулировка — длина наибольшей стороны не больше суммы длин двух других сторонШаблон:Sfn).

Евклидова геометрия

Неравенство

A C ⩽ A B + B C,

выполняется в любом треугольнике $△ A B C$ Шаблон:Sfn. Причём равенство $A C = A B + B C$ достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка $B$ лежит на отрезке $A C$ .

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Нормированное пространство

Пусть $(X, ‖ \cdot ‖)$ — нормированное векторное пространство, где $X$ — произвольное множество, а $‖ \cdot ‖$ — определённая на $X$ норма. Тогда по определению последней справедливо:

‖ x + y ‖ ⩽ ‖ x ‖ + ‖ y ‖, \forall x, y \in X .

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Метрическое пространство

Пусть $(X, ρ)$ — метрическое пространство, где $X$ — произвольное множество, а $ρ$ — определённая на $X$ метрика. Тогда по определению последней

ρ (x, y) ⩽ ρ (x, z) + ρ (z, y), x, y, z \in X .

Вариации и обобщения

$d (x, z) ⩽ \max (d (x, y), d (y, z))$ Сильное неравенство треугольника

Обратное неравенство треугольника

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

$| ‖ x ‖ - ‖ y ‖ | ⩽ ‖ x - y ‖, x, y \in X;$
$| ρ (x, y) - ρ (x, z) | ⩽ ρ (y, z), x, y, z \in X .$