Неравенство четырёхугольника

Неравенство четырёхугольника — неравенство, выполняющееся для любых четырёх точек метрического пространства, в котором справедливо неравенство треугольника. Его геометрический смысл заключается в том, что разность двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон.

Формулировка

Обозначим $\rho (x,y)$ расстояние между точками метрического пространства $x$ и $y$. Тогда для любых четырёх точек метрического пространства $x,y,z,u$ имеет место следующее неравенство: $|\rho (x,z)-\rho (y,u)|⩽\rho (x,y)+\rho (z,u)$.

Доказательство

Рассмотрим неравенства, следующие из неравенства треугольника:

$\rho (x,z)⩽\rho (x,y)+\rho (y,u)+\rho (u,z)$

$\rho (y,u)⩽\rho (y,x)+\rho (x,z)+\rho (z,u)$

Вычтем из обеих частей первого неравенства $\rho (y,u)$ и из обеих частей второго неравенства $\rho (x,z)$.

Второе неравенство треугольника

При $z=u$ неравенство четырёхугольника обращается во второе неравенство треугольника: $|\rho (x,z)-\rho (y,z)|⩽\rho (x,y)$

Неравенства четырёхугольника в планиметрии

• Неравенство четырёхугольника — модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон: $|a-b|\le c+d$.
• Эквивалентно: в любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны, то есть: $a\le b+c+d$; $b<=a+b+c$; $c\le a+b+d$; $d\le a+b+c$.

См. также

Неравенство треугольника