Неравенство Йенсена

Неравенство Йенсена обобщает утверждение, что хорда к графику выпуклой функции находится над графиком.

Нера́венство Йе́нсена — неравенство, связанное с понятием выпуклой функции.

Формулировки

Сумматорный вариант неравенства

Пусть функция $f$ является выпуклой на некотором интервале $I$ и числа $q_1,q_2,\dots ,q_n$ (веса) таковы, что

$q_1,q_2,\dots ,q_n>0$ и $q_1+q_2+\dots +q_n=1$.

Тогда каковы бы ни были числа $x_1,x_2,\dots ,x_n$ из $I$, выполняется неравенство, известное под названием неравенства Йенсена:

$f(q_1{x}_1+q_2{x}_2+\dots +q_n{x}_n)\le q_{1}f(x_1)+q_{2}f(x_2)+\dots +q_{n}f(x_n),$

или

$f\left(\sum _{i=1}^n{q}_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{q}_{i}f(x_i)$.

Замечания:

• Если функция $f(x)$ вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
• Сам Иоган Йенсен исходил из более частного условия, отвечающего случаю $q_1=q_2=\frac{1}{2}$:

$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$.

Для непрерывных функций оно эквивалентно выпуклости.

Сумматорное неравенство Йенсена было известно еще Гёльдеру.

Геометрическая интерпретация

Точка $(\sum _{i=1}^n{q}_i{x}_i;\sum _{i=1}^n{q}_{i}f(x_i))$ является выпуклой комбинацией $n$ точек $(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),\dots ,(x_n,f(x_n))$ плоскости, лежащих на графике функции $f$. Из определения выпуклой функции следует, что выпуклая оболочка этого множества точек лежит над графиком функции $f$, а это и означает, что $f(\sum _{i=1}^n{q}_i{x}_i)\le \sum _{i=1}^n{q}_{i}f(x_i)$.

Интегральная формулировка

Пусть $\phi$ — выпуклая функция, $\mu$ — вероятностная мера, а функции $f$ и $\phi (f)$ интегрируемы. Тогда

$\phi (\int fd\mu )⩽\int \phi (f)d\mu .$

Для случая меры Лебега это неравенство имеет вид

$\phi (\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx)\le \frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\phi (f(x))dx.$

Вероятностная формулировка

Пусть $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ — вероятностное пространство, и $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ — определённая на нём случайная величина. Пусть также $\phi :ℝ\to ℝ$ — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если $X,\phi (X)\in L^1(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$, то

$\phi (𝔼[X])⩽𝔼[\phi (X)]$,

где $𝔼[\cdot ]$ означает математическое ожидание.

Неравенство Йенсена для условного математического ожидания

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, $𝒢\subset ℱ$ — под-σ-алгебра событий. Тогда

$\phi (𝔼[X|𝒢])⩽𝔼[\phi (X)|𝒢]$,

где $𝔼[\cdot |𝒢]$ обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры $𝒢$.

Частные случаи

Неравенство Гёльдера

• Пусть $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n$ — положительные числа, $p,q>1$, причём $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Тогда

$\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\le {\left(\sum _{i=1}^n{a_i}^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(\sum _{i=1}^n{b_i}^q\right)}^{\frac{1}{q}}$.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

• Пусть $f(x)=\ln x$ (вогнутая функция). Имеем:

$\sum _{i=1}^n{q}_i\ln x_i\le \ln \left(\sum _{i=1}^n{q}_i{x}_i\right)$, или $\ln \prod _{i=1}^n{x}_i^{q_i}\le \ln \sum _{i=1}^n{q}_i{x}_i$. Потенцируя, получаем неравенство $\prod _{i=1}^n{x}_i^{q_i}\le \sum _{i=1}^n{q}_i{x}_i$.

В частности, при $q_i=\frac{1}{n}$ получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)

$\sqrt[n]{\phantom{1}{x}_1\dots x_n}\le \frac{x_1+\dots +x_n}{n}$.

Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим

• Пусть $f(x)=x\ln x$ (выпуклая функция). Имеем:

$\left(\sum _{i=1}^n{q}_i{x}_i\right)\ln \left(\sum _{i=1}^n{q}_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{q}_i{x}_i\ln x_i$. Положив $q_i=\frac{\frac{1}{x_i}}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$ и потенцируя, получаем:

$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}\le {(x_1\cdot \dots \cdot x_n)}^{1/n}$ (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим

• Пусть $f(x)=\frac{1}{x}$ (выпуклая функция). Имеем: $\frac{1}{\sum _{i=1}^n{q}_i{x}_i}\le \sum _{i=1}^n\frac{q_i}{x_i}.$

В частности при $q_i=\frac{1}{n}$ получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}\le \frac{x_1+\dots +x_n}{n}.$

См. также

• Неравенство Юнга
• Неравенство Минковского
• Неравенство Гюйгенса
• Неравенство Гёльдера

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга