Числовая последовательность

Последовательность

Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта, принадлежащий Ш. Мерэ) — это последовательность чисел, или перенумерованное множество чисел. Каждое число такого множества называется членом последовательности соответствующего номера.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть $X$ — это либо множество вещественных чисел $ℝ$, либо множество комплексных чисел $ℂ$. Тогда последовательность $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ элементов множества $X$ называется числовой последовательностью.

Примеры

• Функция ${((-1{)}^n)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид $⟨-1,1,-1,1,-1,\dots ⟩$.
• Функция $(1/n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид $⟨1,1/2,1/3,1/4,1/5,\dots ⟩$.

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества $X$ можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве $X$. Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Шаблон:Рамка Пусть на множестве $X$ определена $N$-арная операция $f$:

$f:X^N\to X$

Тогда для элементов $x_1=(x_{1n}{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, $x_2=(x_{2n}{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, …, $x_N=(x_{Nn}{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ множества всех последовательностей элементов множества $X$ операция $f$ будет определяться следующим образом:

$f(x_1,x_2,\cdots ,x_N)=(f(x_{1n},x_{2n},\cdots ,x_{Nn}){)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей $(x_n)$ и $(y_n)$ называется числовая последовательность $(z_n)$ такая, что $z_n=x_n+y_n$

Разностью числовых последовательностей $(x_n)$ и $(y_n)$ называется числовая последовательность $(z_n)$ такая, что $z_n=x_n-y_n$.

Произведением числовых последовательностей $x_n$ и $y_n$ называется числовая последовательность $(z_n)$ такая, что $z_n=x_n\cdot y_n$.

Частным числовой последовательности $x_n$ и числовой последовательности $y_n$, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность $z_n={\left(\frac{x_n}{y_n}\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$. Если в последовательности $y_n$ на позиции $k\ne 1$ всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность $z_n={\left(\frac{x_n}{y_n}\right)}_{n=1}^{k-1}$.

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности $(x_n)$ — это последовательность $(x_{n_k})$, где $(n_k)$ — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
• Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
• Для всякой подпоследовательности $(x_{k_n})$ верно, что $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:k_n⩾n$.
• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Шаблон:Main Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Шаблон:Main Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

• Стационарная (постоянная) последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

  $(x_n)$ стационарная $\iff (\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }i,j\in \mathbb{N}:(i⩾N)\wedge (j⩾N)\Rightarrow (x_i=x_j))$.

• Переменная последовательность — это последовательность, где имеется хотя бы два различных члена. Переменная последовательность может быть трёх видов: возрастающая, убывающая либо колеблющаяся.
• Конечная последовательность — это последовательность, где есть последний член.
• Бесконечная последовательность — это последовательность, где нет последнего члена.

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества $X$ элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

• Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества $X$, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

  $(x_n)$ ограниченная сверху $\iff \mathrm{\exists }M\in X\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:x_n⩽M$.

• Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества $X$, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

  $(x_n)$ ограниченная снизу $\iff \mathrm{\exists }m\in X\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:x_n⩾m$.

• Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

  $(x_n)$ ограниченная $\iff \mathrm{\exists }m,M\in X\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:m⩽x_n⩽M$.

• Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

  $(x_n)$ неограниченная $\iff \mathrm{\forall }m,M\in X\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:(x_n<m)\vee (x_n>M)$.

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

$(x_n)$ ограниченная $\iff \mathrm{\exists }A\in ℝ\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:|x_n|⩽A$.

Свойства ограниченных последовательностей

• Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
• Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
• Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
• У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
• Для любого наперёд взятого положительного числа $\epsilon$ все элементы ограниченной числовой последовательности ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, начиная с некоторого номера, зависящего от $\epsilon$, лежат внутри интервала $(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n-\epsilon ,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n+\epsilon )$.
• Если за пределами интервала $(a,b)$ лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, то интервал $(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n)$ содержится в интервале $(a,b)$.
• Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

• Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
• Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
• Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
• Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
• Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
• Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
• Если $(x_n)$ — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность $(1/x_n)$, которая является бесконечно малой. Если же $(x_n)$ всё же содержит нулевые элементы, то последовательность $(1/x_n)$ всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера $n$, и всё равно будет бесконечно малой.
• Если $({\alpha }_n)$ — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность $(1/{\alpha }_n)$, которая является бесконечно большой. Если же $({\alpha }_n)$ всё же содержит нулевые элементы, то последовательность $(1/{\alpha }_n)$ всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера $n$, и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

• Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества $X$, имеющая предел в этом множестве.
• Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

• Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
• Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
• Если последовательность $(x_n)$ сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность $(1/x_n)$, которая является ограниченной.
• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают члены другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
• Любую сходящуюся последовательность $(x_n)$ можно представить в виде $(x_n)=(a+{\alpha }_n)$, где $a$ — предел последовательности $(x_n)$, а ${\alpha }_n$ — некоторая бесконечно малая последовательность.
• Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Шаблон:Main Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Шаблон:Main Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

См. также

• Энциклопедия целочисленных последовательностей