Теорема Вейля о равномерном распределении

Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка $(0;1)$.

Теорема была доказана в 1914 и опубликована в 1916 году Германом Вейлем.

Определения

Пусть ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ — бесконечная последовательность вещественных чисел из интервала $(0;1)$

Для чисел $a,b\in (0;1),a<b$ обозначим через ${\phi }_n(a,b)=\mathrm{\#}\left\{k:1\le k\le n,{\xi }_k\in (a;b)\right\}$ количество чисел из ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$, лежащих в отрезке $(a;b)$.

Определим предельное наибольшее отклонение как $D_{\xi }=\lim \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\sup }\left(\frac{{\phi }_n(a,b)}{n}-(b-a)\right)$.

Последовательность ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$ называется равномерно распределённой в $(0;1)$ если $D_{\xi }=0$. Иными словами, последовательность равномерно распределённа в $(0;1)$ если в любом ненулевом отрезке доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к доле размера отрезка в $(0;1)$.

Формулировка теоремы

Шаблон:Рамка Последовательность ${\left({\xi }_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},{\xi }_n\in (0;1)$ равномерно распределена в $(0;1)$ тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману на отрезке $(0;1)$ функции $f$ выполняется тождество:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$

Следствия

Критерий с тригонометрическими суммами

Теорема Вейля позволяет вывести прямую связь равномерности распределения с тригонометрическими суммами.

Шаблон:Рамка Последовательность ${\left({\xi }_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},{\xi }_n\in (0;1)$ равномерно распределена в $(0;1)$ тогда и только тогда, когда для любого целого $m=0$ выполнено

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{e}^{2\pi m{\xi }_{k}i}=0$

Доказательство последнего утверждения проводится аналогично доказательству основной теоремы (см. выше), только вместо аппроксимации кусочно-линейной функцией используется аппроксимация частичными суммами ряда Фурье.

Константа $0$ в формуле фактически является значением интеграла $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{2\pi mxi}dx=0$.

Дробные части от кратных иррациональным

Благодаря формулировке теоремы, использующей тригонометрические суммы, легко вывести следующий результат:

Шаблон:Рамка Обозначим через $\left\{x\right\}$ дробную часть числа $x$

Если $\xi \in ℝ$ — иррациональное число, то последовательность $\left\{\xi \right\},\left\{2\xi \right\},\left\{3\xi \right\},\dots ,\left\{n\xi \right\},\dots$ равномерно распределена в $(0;1)$. Шаблон:Конец рамки

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга