Суммы Рамануджана

Суммы Рамануджана — это тригонометрические суммы, зависящие от двух целочисленных параметров $k$ и $n$, вида:

$c_k(n)=\sum _h\cos \left(\frac{2\pi nh}{k}\right)=\sum _h\exp \left(\frac{2\pi nhi}{k}\right),$

где $h<k,h\in {\mathbb{Z}}_0$ и $(h,k)=1$.

Основным свойством сумм Рамануджана является их мультипликативность относительно индекса $k$, то есть

$c_{k{k}^{\prime }}(n)=c_k(n)c_{k^{\prime }}(n),$

если $(k,k^{\prime })=1$.

Суммы $c_k(n)$ можно представить через функцию Мёбиуса $\mu$:

$c_k(n)=\sum _{d\setminus (k,n)}\mu \left(\frac{k}{d}\right)d.$

Суммы Рамануджана ограничены при ограниченных либо $k$, либо $n$. Так, например, $c_k(1)=1$.

Применение сумм Рамануджана

Многие мультипликативные функции от натурального аргумента могут быть разложены в ряды по $c_k(n)$. Верно и обратное.

Основные свойства сумм позволяют вычислять суммы вида:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k(qn)}{n^s}f(n),\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k(qn)}{k^s}f(k),$

где $f(n)$ — мультипликативная функция, $q$ — целое число, $s$ — в общем случае, комплексное.

В простейшем случае, можно получить

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k(qn)}{k^s}=\frac{{\sigma }_{1-s}(n)}{\zeta (s)},$

где $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана, ${\sigma }_k(n)$ — сумма $k$-х степеней делителей числа $n$.

Такие суммы тесно связаны с особыми рядами некоторых аддитивных проблем теории чисел, например, представление натуральных чисел в виде чётного числа квадратов. В работе [1] приведены многие формулы, содержащие данные суммы.

Литература

1. Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
2. Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
3. Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
4. Volkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
5. Шаблон:Книга.
6. Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — М.: ВИНИТИ, 1960.