Дзета-функция Римана

График дзета-функции Римана (аналитического продолжения ряда Дирихле) на действительной оси. Слева от нуля масштаб шкалы значений функции увеличен в 100 раз для наглядности

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция $\zeta (s)$ комплексного переменного $s=\sigma +it$, при $\sigma >1$, определяемая с помощью ряда Дирихле:

$\zeta (s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\dots .$

В комплексной полуплоскости $\{s\in ℂ\mid \mathrm{Re}s>1\}$ этот ряд сходится, является аналитической функцией от $s$ и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки Шаблон:S

Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.

В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости $\mathrm{Re}s=1/2$, то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.

Дзета-функция Римана для вещественных Шаблон:Mvar > 1

Тождество Эйлера

В области $\{s\mid \mathrm{Re}s>1\}$ также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

$\zeta (s)=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{число }p}{\text{простое}}}\frac{1}{1-p^{-s}}.$

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства

Дзета-функции Римана в комплексной плоскости

• Если взять асимптотическое разложение при $N\to +\mathrm{\infty }$ частичных сумм вида

  $\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^s}=\zeta (s)+\frac{1}{1-s}{N}^{1-s}+\frac{1}{2}{N}^{-s}-\frac{1}{12}s{N}^{-1-s}+\dots$,

справедливую для $\mathrm{R}\mathrm{e}s>1$, она же останется верной и для всех $s$, кроме тех, для которых $2-s\in \mathbb{N}$ (это тривиальные корни дзета-функции). Из этого можно получить следующие формулы для $\zeta (s)$:

1. $\zeta (s)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{N\to +\mathrm{\infty }}(\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^s}-\frac{N^{1-s}}{1-s})$, при $\mathrm{R}\mathrm{e}s>0$, кроме $s=1$;
2. $\zeta (s)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{N\to +\mathrm{\infty }}(\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^s}-\frac{N^{1-s}}{1-s}-\frac{1}{2}{N}^{-s})$, при $\mathrm{R}\mathrm{e}s>-1$, кроме $s=1$ или $0$;
3. $\zeta (s)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{N\to +\mathrm{\infty }}(\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^s}-\frac{N^{1-s}}{1-s}-\frac{1}{2}{N}^{-s}+\frac{1}{12}s{N}^{-1-s})$, при $\mathrm{R}\mathrm{e}s>-2$, кроме $s=1$, $0$ или $-1$ и т. д.

• Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:

  $\zeta (2m)=(-1{)}^{m+1}\frac{(2\pi {)}^{2m}}{2(2m)!}{B}_{2m}$, где $B_{2m}$ — число Бернулли.

В частности, $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$ (ряд обратных квадратов), $\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90},\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945},\zeta (8)=\frac{{\pi }^8}{9450},\zeta (10)=\frac{{\pi }^{10}}{93555}$

• Кроме того, получено значение $\zeta (3)=-\frac{{\psi }^{(2)}(1)}{2}$, где $\psi$ — полигамма-функция;
• Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное.
• При $\mathrm{Re}s>1$
  • $\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$, где $\mu (n)$ — функция Мёбиуса
  • $\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}$, где $\lambda (n)$ — функция Лиувилля
  • ${\zeta }^2(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\tau (n)}{n^s}$, где $\tau (n)$ — число делителей числа $n$
  • $\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}$
  • $\frac{{\zeta }^2(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{\nu (n)}}{n^s}$, где $\nu (n)$ — число простых делителей числа $n$
  • $\frac{{\zeta }^3(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\tau (n^2)}{n^s}$
  • $\frac{{\zeta }^4(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\tau (n){)}^2}{n^s}$
• При $\mathrm{Re}s>2$
  • $\frac{\zeta (s-1)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\phi (n)}{n^s}$, где $\phi (n)$ — функция Эйлера
• $\zeta (s)$ имеет в точке $s=1$ простой полюс с вычетом, равным 1.
• При натуральных $s$ верна следующая формула:
  • $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lfloor \sqrt[s]{n}\rfloor }{n(n+1)}=\zeta (s)$

• Дзета-функция при $s\ne 0,s\ne 1$ удовлетворяет уравнению:

  $\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s)$,

где $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал.

• Для функции

  $\xi (s)=\frac{1}{2}{\pi }^{-s/2}s(s-1)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)$,

введённой Риманом для исследования $\zeta (s)$ и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:

$\xi (s)=\xi (1-s)$.

Нули дзета-функции

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости $\mathrm{Re}s<0$ функция $\zeta (s)$ имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\dots$. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, $\zeta (s)\ne 0$ при вещественных $s\in (0,1)$. Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали $\mathrm{Re}s=\frac{1}{2}$ и лежат в полосе $0⩽\mathrm{Re}s⩽1$, которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой $\mathrm{Re}s=\frac{1}{2}$.

Представления конкретных значений

ζ(2)

Шаблон:См. также Из формулы $2\zeta (2m)=(-1{)}^{m+1}\frac{(2\pi {)}^{2m}}{(2m)!}{B}_{2m}$, где $B_{2m}$ — число Бернулли, получаем, что $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$.

Другие представления в виде рядов

Ниже приведены другие ряды, сумма которых равна $\zeta (2)$:

$\begin{array}{cc}\zeta (2)& =3\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}\zeta (2)& =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(i-1)!(j-1)!}{(i+j)!}\end{array}$

Существуют также представления для $\zeta (2)$ вида формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа, позволяющие в некоторых системах счисления вычислять $k$-й знак его записи без вычисления предыдущих:

$\begin{array}{c}\zeta (2)=\frac{27}{4}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{64^k}[\frac{16}{(6k+1{)}^2}-\frac{24}{(6k+2{)}^2}-\frac{8}{(6k+3{)}^2}-\frac{6}{(6k+4{)}^2}+\frac{1}{(6k+5{)}^2}]\end{array}$

$\begin{array}{c}\zeta (2)=\frac{4}{9}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{729^k}[\frac{243}{(12k+1{)}^2}-\frac{405}{(12k+2{)}^2}-\frac{81}{(12k+4{)}^4}-\frac{27}{(12k+5{)}^2}-\\ -\frac{72}{(12k+6{)}^2}-\frac{9}{(12k+7{)}^2}-\frac{9}{(12k+8{)}^2}-\frac{5}{(12k+10{)}^2}+\frac{1}{(12k+11{)}^2}]\end{array}$

Интегральные представления

Дзета-функция представима в виде интеграла при $\mathrm{R}\mathrm{e}s>0$ :

$\zeta (s+1)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s+1)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{(-\ln (1-x){)}^s}{x}dx$

Ниже приведены формулы для $\zeta (2)$ с участием интегралов, полученные с использованием дзета-функции Римана:

$\begin{array}{cc}\zeta (2)& =-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\log x}{1-x}dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^x-1}dx\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{(\log x{)}^2}{(1+x{)}^2}dx\\ & =2+2\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\lfloor x\rfloor -x}{x^3}dx\\ & =\exp \left(2\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\pi (x)}{x(x^2-1)}dx\right)\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dxdy}{1-xy}\\ & =\frac{4}{3}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dxdy}{1-(xy{)}^2}\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x}{1-xy}dxdy+\frac{2}{3}.\end{array}$

Цепные дроби

Некоторые из представлений $\zeta (2)$ в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для константы Апери $\zeta (3)$, дающими возможность доказать её иррациональность.

$\zeta (2)=\frac{2}{1+\frac{1^4}{3+\frac{2^4}{5+\frac{3^4}{7+\frac{\dots }{\dots +\frac{n^4}{(2n-1)+\dots }}}}}}$

$\zeta (2)=1+\frac{1}{1+\frac{1^2}{1+\frac{1\cdot 2}{1+\frac{2^2}{1+\frac{2\cdot 3}{1+\frac{3^2}{1+\frac{\dots }{\dots +\frac{n^2}{1+\frac{n\cdot (n+1)}{1+\dots }}}}}}}}}$

$\zeta (2)=\frac{5}{3+\frac{1^4}{25+\frac{2^4}{69+\frac{3^4}{135+\frac{\dots }{\dots +\frac{n^4}{(11n^2-11n+3)+\dots }}}}}}$Шаблон:Unreliable source

$\zeta (2)=\frac{5}{3}+\frac{1}{25+\frac{1^4}{69+\frac{2^4}{135+\frac{3^4}{223+\frac{\dots }{\dots +\frac{n^4}{(11n^2+11n+3)+\dots }}}}}}$

ζ(3)

Шаблон:Основная статья Одним из наиболее коротких представлений является $\zeta (3)=-\frac{{\psi }^{(2)}(1)}{2}$, получаем, что $\zeta (3)\approx 1.2020569031595942853997381615114499907649862923404988817922715553...$ , где $\psi$ — полигамма-функция.

Интегральные представления

$\begin{array}{cc}\zeta (3)& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln x\ln (1-x)}{x}dx\\ & =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\ln }^{2}x}{1-x}dx\\ & =-\frac{1}{6}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\ln }^{3}x}{(1-x{)}^2}dx\end{array}$

Цепные дроби

Цепная дробь для константы Апери (Шаблон:OEIS) выглядит следующим образом:

$\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7,11,1,1,1,\cdots ]=$

$=1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{18+\frac{1}{1+\dots }}}}$

Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

$\zeta (3)=1+\frac{1}{4+\frac{1^3}{1+\frac{1^3}{12+\frac{2^3}{1+\frac{2^3}{20+\frac{3^3}{1+\frac{3^3}{28+\frac{\dots }{\dots +\frac{n^3}{1+\frac{n^3}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}}}}$

Она может быть преобразована к виду:

$\zeta (3)=1+\frac{1}{5-\frac{1^6}{21-\frac{2^6}{55-\frac{3^6}{119-\frac{4^6}{225-\frac{\dots }{\dots +\frac{n^6}{(2n^3+3n^2+11n+5)+\dots }}}}}}}$

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:

$\zeta (3)=\frac{6}{5}-\frac{1^6}{117-\frac{2^6}{535-\frac{3^6}{1436-\frac{4^6}{3105-\frac{\dots }{\dots +\frac{n^6}{(34n^3+51n^2+27n+5)+\dots }}}}}}$

ζ(4)

Из формулы $2\zeta (2m)=(-1{)}^{m+1}\frac{(2\pi {)}^{2m}}{(2m)!}{B}_{2m}$, где $B_{2m}$ — число Бернулли, получаем, что $\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$.

ζ(5)

Одним из наиболее коротких представлений является $\zeta (5)=-\frac{{\psi }^{(4)}(1)}{24}$, получаем, что $\zeta (5)\approx 1.0369277551433699263313654864570341680570809195019128119741926779...$ , где $\psi$ — полигамма-функция.

Обобщения

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

• Дзета-функция Гурвица:

  $\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+q{)}^{-s},$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при Шаблон:Math = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Полилогарифм:

  ${\mathrm{L}\mathrm{i}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s},$

который совпадает с дзета-функцией Римана при Шаблон:Math = 1.

• Дзета-функция Лерха:

  $\mathrm{\Phi }(z,s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(k+q{)}^s},$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при Шаблон:Math = 1 и Шаблон:Math = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Квантовый аналог (Шаблон:Math-аналог).

Аналогичные конструкции

В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператораШаблон:Sfn. Пусть $A$ — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots \}$. Причём существует вещественное число $\alpha >0$, такое, что оператор $(I+A{)}^{-\alpha }$ имеет след. Тогда дзета-функция ${\zeta }_A(s)$ оператора $A$ определяется для произвольного комплексного числа $s$, лежащего в полуплоскости $\mathrm{R}\mathrm{e}s>\alpha$, может быть задана сходящимся рядом

${\zeta }_A(s)=\sum _{{\lambda }_n\ne 0}\frac{1}{{\lambda }_n^s}$

Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки $s=0$, то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора $A$ в соответствии с формулой

$\det {}^{\prime }A=e^{-\frac{d{\zeta }_A}{ds}(0)}.$

История

Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.

См. также

• Список всех дзета-функций

Литература

• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:ЯнкеЭмдеЛёш

Ссылки

• Шаблон:MathWorld