Функция Лиувилля

В теории чисел, функция Лиувилля $\lambda (n)$ — мультипликативная арифметическая функция, равная +1, если число является произведением чётного числа простых чисел, и −1 в противном случае.

Точнее, пусть $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ — факторизация числа, $p_1<\dots <p_k$ — простые числа, $a_j$ — натуральные числа. Тогда

$\lambda (n)=(-1{)}^{a_1+\dots +a_k}$ (Шаблон:OEIS).

Функция Лиувилля тесно связана с функцией Мёбиуса $\mu (n)$. Если $n=a^{2}b$, где $b$ — число, свободное от квадратов, то

$\lambda (n)=\mu (b).$

Сумма функции по всем делителям $n$ является характеристической функцией множества точных квадратов:

$\sum _{d|n}\lambda (d)=\{\begin{array}{cc}1& n=k^2,k\in \mathbb{N}\\ 0& \sqrt{n}\notin \mathbb{N}.\end{array}$

Применение формулы обращения Мёбиуса даёт нам отсюда

$\lambda (n)=\sum _{d^2|n}\mu \left(\frac{n}{d^2}\right).$

Абсолютная величина функции Мёбиуса является функцией, обратной к $\lambda (n)$ относительно свёртки Дирихле.

Ряды

Ряд Дирихле функции Лиувилля выражается через дзета-функцию Римана как

$\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}.$

Кроме того,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)\ln n}{n}=-\zeta (2)=-\frac{{\pi }^2}{6}.$

Ряд Ламберта функции имеет вид

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)q^n}{1-q^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=\frac{1}{2}({\vartheta }_3(q)-1),$

где ${\vartheta }_3(q)$ — тета-функция Якоби.

Литература

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Springer