Ряд Ламберта

Функция $S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1-q^n}$, представленная как изображение в Matplotlib с помощью версии метода Раскраски области определения

Ряд Ламберта — в математике ряд, названный в честь Иоганна Генриха Ламберта. Этот ряд имеет вид

$S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\frac{q^n}{1-q^n}.$

Используя разложение знаменателя, ряд Ламберта можно представить в виде формального ряда

$S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{nk}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{q}^m$

в котором коэффициенты определяются с помощью свёртки Дирихле для $a_n$ с постоянной функцией $1(n)=1$:

$b_m=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}{a}_n.$

Этот ряд может быть обращён с помощью формулы обращения Мёбиуса. Он представляет собой пример преобразования Мёбиуса.

Примеры

Поскольку последнее выражение представляет собой типичную теоретико-числовую сумму, почти всякая естественная мультипликативная функция будет в точности суммируемой, когда она употребляется в рядах Ламберта. Так, например,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_0(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1-q^n}$

где ${\sigma }_0(n)=d(n)$ — число положительных делителей числа  n.

Для суммы делителей высокого порядка имеем

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{\alpha }{q}^n}{1-q^n}$

где $\alpha$ — произвольное комплексное число, и

${\sigma }_{\alpha }(n)=({\text{Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}{d}^{\alpha }$

функция делителей. В частности, для $\alpha =1$, ряд Ламберта, который мы получаем, таков

$q\frac{F^{\prime }(q)}{F(q)}$

Это (с точностью до множителя $q$) логарифмическая производная обычной порождающей функции для числа разбиений

$F(q):=\frac{1}{\varphi (q)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(k)q^k=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-q^n}.$

Дополнительные ряды Ламберта, связанные с предыдущим тождеством, включают ряды для вариантов функции Мёбиуса, приведённых ниже

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (n)\frac{q^n}{1-q^n}=q.$

Ссылки

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. М.: Наука, 1964. п. 385.