Функция Мёбиуса

Функция Мёбиуса $\mu (n)$ — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение

$\mu (n)$ определена для всех натуральных чисел $n$ и принимает значения $-1,0,1$ в зависимости от характера разложения числа $n$ на простые сомножители:

• $\mu (n)=1$, если $n$ свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение $n$ на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
• $\mu (n)=-1$, если $n$ свободно от квадратов и разложение $n$ на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
• $\mu (n)=0$, если $n$ не свободно от квадратов.

По определению также полагают $\mu (1)=1$.

50 первых точек

У Ивана Матвеевича Виноградова в книге «Элементы высшей математики» встречается следующее определение функции Мёбиуса:

Шаблон:Начало цитатыФункция Мёбиуса — мультипликативная функция, определённая равенствами: $\mu (p)=-1,\mu (p^{\alpha })=0,\text{если}\alpha >1.$ Шаблон:Конец цитаты

Из этих двух равенств и мультипликативности самой функции выводятся её значения для всех натуральных аргументов.

Свойства и приложения

• Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел $a$ и $b$ выполняется равенство $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$.
• Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа $n$, не равного единице, равна нулю

$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{cc}1,& n=1,\\ 0,& n>1.\end{array}$

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

• $\sum _{k=1}^n\mu (k)\left[\frac{n}{k}\right]=1.$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (kn)}{k}=0,$ где n — положительное целое число.
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (k)\ln k}{k}=-1.$
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (2k+1)\ln (2k+1)}{2k+1}=-2.$
• $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (k){\ln }^{2}k}{k}=-2\gamma ,$ где $\gamma$ — это постоянная Эйлера.
• $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (2k+1){\ln }^2(2k+1)}{2k+1}=-4(\gamma +ln2).$
• Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}$.

Ряд абсолютно сходится при $\mathrm{R}\mathrm{e}s>1$, на прямой $\mathrm{R}\mathrm{e}s=1$ сходится условно, в области $1/2<\mathrm{R}\mathrm{e}s<1$ утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при $\mathrm{R}\mathrm{e}s<1/2$ ряд заведомо не сходится, даже условно.

При $\mathrm{R}\mathrm{e}s>1$ справедлива также формула:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}=\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}$

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (pn)}{n^s}=\frac{p^s}{(1-p^s)\zeta (s)},$ где p — простое число.
• Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса, также тесно связанной с задачей о нулях дзета-функции Римана

$M(n)=\sum _{k=1}^n\mu (k).$

• Справедливы асимптотические соотношения:

$\frac{1}{x}\sum _{n\le x}\mu (n)=o(1)$ при $x\to \mathrm{\infty }$

$\frac{1}{x}\sum _{n\le x}|\mu (n)|=\frac{1}{\zeta (2)}+O(\frac{1}{\sqrt{x}})$,

из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна $1-1/\zeta (2)=0,3920729$, а плотность множества единиц (или минус единиц) $1/2\zeta (2)=0,30396355$. На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса

Для арифметических функций $f$ и $g$,

$g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)$

тогда и только тогда, когда

$f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)g\left(\frac{n}{d}\right)$.

Вторая формула обращения Мёбиуса

Для вещественнозначных функций $f(x)$ и $g(x)$, определённых при $x⩾1$,

$g(x)=\sum _{n⩽x}f\left(\frac{x}{n}\right)$

тогда и только тогда, когда

$f(x)=\sum _{n⩽x}\mu (n)g\left(\frac{x}{n}\right)$.

Здесь сумма $\sum _{n⩽x}$ интерпретируется как $\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }$.

Обобщённая функция Мёбиуса

Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.

Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения $\prec$. Будем считать, что $a\preccurlyeq b⟺a\prec b\vee a=b$.

Определение

Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.

${\mu }_A^{*}(a,b)=\{\begin{array}{cc}1,& a=b\\ -\sum _{a\preccurlyeq z\prec b}{\mu }_A^{*}(a,z),& a\prec b\\ 0,& a\preccurlyeq ̸b\end{array}$

Формула обращения

Пусть функции $g$ и $f$ принимают вещественные значения на множестве $A$ и выполнено условие $g(x)=\sum _{y\preccurlyeq x}f(y)$.

Тогда $f(x)=\sum _{y\preccurlyeq x}{\mu }_A^{*}(y,x)g(y)$

Связь с классической функцией Мёбиуса

Если взять в качестве $A$ множество натуральных чисел, приняв за отношение $a\prec b$ отношение $a\mid b\wedge a=b$, то получим ${\mu }_{\mathbb{N}}^{*}(a,b)=\mu \left(\frac{b}{a}\right)$, где $\mu$ - классическая функция Мёбиуса.

Это, в частности, означает, что $\mu (n)={\mu }_{\mathbb{N}}^{*}(1,n)$, и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества $\sum _{k=1}^n(-1{)}^k{C}_n^k=0$, так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.

См. также

• Свёртка Дирихле

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5, 2013.
• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013.
• Обобщённая формула обращения Мёбиуса