Функция Мертенса

Функция Мертенса — числовая функция, определяемая для натуральных чисел $n$ формулой:

$M(n)=\sum _{k=1}^n\mu (k)$,

где $\mu (k)$ — функция Мёбиуса. Иными словами, $M(n)$ — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих $n$ и содержащих чётное число простых множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечётное число простых множителей.

Может быть расширена на все положительные действительные числа следующим образом:

$M(x)=\sum _{1⩽k⩽x}\mu (k)$.

Названа в честь Франца Мертенса, предложившего в 1897 году в связи с этой функцией гипотезу Мертенса (позднее отвергнутую).

Свойства

Модуль функции не превосходит аргумент:

$|M(x)|⩽x$.

Нетривиальное доказанное свойство — $M(x)=o(x)$. Также установлено, что $M(x)=M([x])$, где $[x]$ — целая часть числа $x$.

Серия тождеств, содержащих функцию Мертенса, получается единообразно на основе следующего факта: если $c_n=\sum _{d|n}\mu (n/d)a_d$, то при $x⩾1$ справедливо тождество:

$\sum _{k⩽x}M(x/k)a_k=C(x)$, где $C(x)=\sum _{n⩽x}{c}_n$ — сумматорная функция последовательности $c_n$.

В частности, отсюда получаются следующие тождества, справедливые при $x⩾1$:

$\sum _{k⩽x}M(x/k)=1$ — характеристическое свойство функции Мертенса;

$\sum _{k⩽x}M(x/k)\mathrm{l}\mathrm{n}k=\psi (x)$, где $\psi (x)$ — вторая функция Чебышёва;

$\sum _{k⩽x}M(x/k)|\mu (k)|=M(\sqrt{x})$;

$\sum _{k⩽x}M(x/k)\mathrm{\Lambda }(k)=\mathrm{l}\mathrm{n}[x]!$, где $\mathrm{\Lambda }(k)$ — функция Мангольдта;

$\sum _{k⩽x}M(x/k)\tau (k)=[x]$, где $\tau (k)$ — количество делителей числа $k$.

Функция Мертенса имеет области медленного изменения как в положительную, так и в отрицательную сторону, проходя средние и экстремальные значения, осциллируя, по видимости, хаотическим образом, проходя через нуль при следующих значениях $n$:

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427 …

Поскольку функция Мёбиуса может принимать только значения $-1,0,1$, функция Мертенса изменяется медленно: для всех $n$ верно, что $|M(n)|⩽n$. Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех $n$ абсолютное значение функции Мертенса не превосходит корня из $n$: $|M(n)|⩽\sqrt{n}$. Однако, гипотеза была опровергнута 1985 году Шаблон:Iw и Шаблон:Iw. Гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте $M(n)$, а именно $M(n)=O(n^{1/2+\epsilon })$. Поскольку наибольшие значения $M(n)$ растут как минимум так же быстро, как и корень из $n$, это предположение довольно точно оценивает рост функции Мертенса ($O$ обозначает O большое).

Первые 160 значений

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$M(n)$	1	0	-1	-1	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-2	-2	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-3	-3
$n$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
$M(n)$	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-1	0	0
$n$	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
$M(n)$	-1	-2	-3	-3	-3	-2	-3	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-1	0	-1	-1
$n$	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
$M(n)$	-2	-1	-1	-1	0	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-4	-3	-3	-3	-2	-3	-4	-4
$n$	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
$M(n)$	-4	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-1	-1	0	1	2	2	1	1	1	1
$n$	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
$M(n)$	0	-1	-2	-2	-3	-2	-3	-3	-4	-5	-4	-4	-5	-6	-5	-5	-5	-4	-3	-3
$n$	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
$M(n)$	-3	-2	-1	-1	-1	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4
$n$	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
$M(n)$	-3	-2	-1	-1	0	1	1	1	0	0	-1	-1	-1	-2	-1	-1	-2	-1	0	0

Интегральное представление

Используя произведение Эйлера можно получить следующее представление:

$\frac{1}{\zeta (s)}=\prod _p(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$,

где $\zeta (s)$ — это дзета-функция Римана, а произведение берётся по всем простым $p$. Тогда, используя ряд Дирихле в правой части с формулой Перрона, получается:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\oint }\frac{x^s}{s\zeta (s)}ds=M(x),$

где $C$ — замкнутая кривая, окружающая все корни $\zeta (s)$.

Для обращения используется преобразование Меллина:

$\frac{1}{\zeta (s)}=s\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{M(x)}{x^{s+1}}dx,$

которое сохраняется при $\mathrm{\Re }(s)>1$.

Из предположения, что существуют только некратные нетривиальные корни $\zeta (\rho )$, получается «точная формула» по теореме о вычетах:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\oint }\frac{x^s}{s\zeta (s)}ds=\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho {\zeta }^{\prime }(\rho )}-2+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}(2\pi {)}^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}.$

Вейль выдвинул предположение, что функция Мертенса удовлетворяет приближённому функционально-дифференциальному уравнению:

$\frac{y(x)}{2}-\sum _{r=1}^N\frac{B_{2r}}{(2r)!}{D}_t^{2r-1}y\left(\frac{x}{t+1}\right)+x\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{y(u)}{u^2}du=x^{-1}H(\ln x),$

где $H(x)$ — функция Хевисайда, $B_{2r}$ — числа Бернулли, и все производные по $t$ вычисляются при $t=0$.

Титчмарш (1960) доказал следующую формулу, включающую сумму с функцией Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в форме:

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{\sqrt{n}}g(\ln n)=\sum _t\frac{h(t)}{{\zeta }^{\prime }(1/2+it)}+2\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2\pi {)}^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)e^{-x(2n+1/2)}dx,$

где $t$ в сумме пробегает все мнимые части нетривиальных нулей, а $(g,h)$ связаны преобразованием Фурье, так что:

$\pi g(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}h(u)\cos (ux)du$.

Представление через последовательность Фарея

Другая формула для функции Мертенса:

$M(n)=\sum _{a\in {ℱ}_n}{e}^{2\pi ia}$,

где ${ℱ}_n$ — последовательность Фарея порядка $n$.

Эта формула используется в доказательстве теореме Франеля — Ландау.

Выражение через определитель

$M(n)$ равна определителю (0,1)-матрицы Редхеффера порядка $n$, в которой $a_{ij}=1$ тогда и только тогда, когда $j=1$ или $i\mid j$.

Матрица Редхеффера возникает при решении следующей системы линейных уравнений:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+\dots +x_n=1\\ x_2+x_4+\dots +x_{2[n/2]}=1\\ x_3+x_6+\dots +x_{3[n/3]}=1\\ \dots \\ \sum _{k⩽n,d|k}{x}_k=1\\ \dots \end{array}$

Матрица системы имеет треугольный вид, на главной диагонали у неё стоят единицы, поэтому определитель системы равен единице и решение системы существует и единственно.

Решением системы являются числа $x_1=M(n),x_2=M(n/2),x_3=M(n/3),\dots ,x_k=M(n/k),\dots ,x_n=M(n/n)=1,$ в силу характеристического свойства функции Мертенса: $\sum _{k⩽x}M(x/k)=1$

При решении системы по правилу Крамера с учётом, что определитель системы равен 1, получается, что $x_1$, равный $M(n)$, равен определителю матрицы, полученной из матрицы системы заменой первого столбца на столбец из единиц, а это и есть матрица Редхеффера порядка $n$.

Вычисление

Функция Мертенса была вычислена для возрастающих диапазонов $n$:

• Мертенс (1897) — 10⁴,
• фон Штернек (1897) — 1,5Шаблон:E,
• фон Штернек (1901) — 5Шаблон:E,
• фон Штернек (1912) — 5Шаблон:E,
• Нойбауэр (1963) — 10⁸,
• Коэн и Дресс (1979) — 7,8Шаблон:E,
• Дресс (1993) — 10¹²,
• Лиун и ван де Луне (1994) — 10¹³,
• Котник и ван де Луне (2003) — 10¹⁴

Функция Мертенса для всех целых, не превосходящих $N$, может быть вычислена за время $O(N^{1+\epsilon })$. Существует элементарный алгоритм, вычисляющий изолированное значение $M(N)$ за время $O(N^{2/3+\epsilon })$.

Приложения

В элементарном доказательстве теоремы о распределении простых чисел Гельфонд доказал и использовал тот факт, что из $M(x)=o(x)$ следует $\pi (x)=\frac{x}{\ln x}+o\left(\frac{x}{\ln x}\right)$.

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Книга
• F. Mertens, «Uber eine zahlentheoretische Funktion», Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, (1897) 761—830.
• A. M. Odlyzko and Herman te Riele, «Disproof of the Mertens Conjecture», Journal fur die reine und angewandte Mathematik 357, (1985) pp. 138—160.
• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:OEIS
• Deleglise, M. and Rivat, J. «Computing the Summation of the Mobius Function.» Experiment. Math. 5, 291—295, 1996. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.em/1047565447