Гипотеза Мертенса

Вычислив значения функции Мертенса $M(n)$ (на графике внутри) и квадратные корни $\pm \sqrt{n}$ (на графике снаружи) для $n⩽10000$ Мертенс предположил, что абсолютное значение $M(n)$ всегда ограничено $\sqrt{n}$

Гипотеза Ме́ртенса — отвергнутая математическая гипотеза, согласно которой функция Мертенса $M(n)$ ограничена $\pm \sqrt{n}$. Выдвинута Стилтьесом в 1885 году в письме ЭрмитуШаблон:Sfn, независимо предложена Шаблон:Iw в 1897 году. Особый интерес к гипотезе был связан с тем, что из её выполнения следует верность гипотезы РиманаШаблон:Переход.

Несмотря на большое количество интуитивных подтверждений и вычислительных предпосылок, гипотеза была опровергнута в 1985 году Шаблон:Iw и Шаблон:Iw.

История

Стилтьес утверждал в 1885 году, что доказал более слабое утверждение: $m(n):=M(n)/\sqrt{n}$ ограничена, но не опубликовал доказательство. (В терминах $m(n)$ предположение Мертенса означало, что $-1<m(n)<1$.)

Одлыжко и те Риле для доказательства ложности гипотезы в 1983 году использовали алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса, получив:

$lim\; infm(n)<-\mathrm{1,009}$ и $lim\; supm(n)>\mathrm{1,06}$.

Позже было доказано, что первый контрпример встречается до $e^{\mathrm{3,21}\times 10^{64}}\approx 10^{\mathrm{1,39}\times 10^{64}}$, но после 10¹⁶. С тех пор верхняя граница была понижена до $e^{\mathrm{1,59}\times 10^{40}}$ или приблизительно $10^{\mathrm{6,91}\times 10^{39}}$, при этом точный контрпример по состоянию Шаблон:На неизвестен.

Закон повторного логарифма утверждает, что если функцию Мёбиуса $\mu$ в определении функции Мертенса заменить случайной последовательностью из +1 и −1, тогда порядок роста частичных сумм первых $\mu$ чисел (с вероятностью 1) составляет около $\sqrt{n\log \log n}$, из чего можно полагать порядок роста $m(n)$ приблизительно равным $\sqrt{\log \log n}$. Истинный порядок роста может быть несколько меньше: в начале 1990-х годов предположено, что порядок роста $m(n)$ равен $(\log \log \log n{)}^{5/4}$, что нашло в 2004 году также эвристические подтверждения (основанные на выполнении гипотезы Римана и некоторых предположениях об усреднённом поведении нулей $\zeta$-функции Римана).

В 1979 году найдено наибольшее известное значение $m(n)\approx \mathrm{0,570591}$ для $M(7766842813)=50286$, а в 2011 году вычислено наибольшее известное отрицательное значение $m(n)\approx -\mathrm{0,585768}$ для $M(11609864264058592345)=-1995900927$. В 2016 году вычислены $M(n)$ для каждого $n⩽10^{16}$, но бо́льшие значения $m(n)$ не найдены.

В 2006 году улучшена верхняя граница и показано, что существует бесконечно много значений $n$, для которых $m(n)>\mathrm{1,2184}$, но без нахождения особых значений для таких $n$. В 2016 году установлено, что:

$lim\; infm(n)<-\mathrm{1,837625}$ и $lim\; supm(n)>\mathrm{1,826054}$.

Связь с гипотезой Римана

Связь с гипотезой Римана основана на рядах Дирихле для функции, обратной римановой дзета-функции:

$\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$

в области $ℛℯ(s)>1$. Ряд может быть переписан как интеграл Стилтьеса:

$\frac{1}{\zeta (s)}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{-s}dM(x)$,

что после интегрирования по частям даёт функцию, обратную дзета-функции — преобразование Меллина:

$\frac{1}{s\zeta (s)}=\left\{ℳM\right\}(-s)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{-s}M(x)\frac{dx}{x}$.

Используя Шаблон:Iw, $M$ выражается через $\frac{1}{\zeta }$ как:

$M(x)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\sigma -i\mathrm{\infty }}^{\sigma +i\mathrm{\infty }}\frac{x^s}{s\zeta (s)}ds$,

что верно для $1<\sigma <2$, и верно для $\frac{1}{2}<\sigma <2$ согласно гипотезе Римана. Из этого следует, что интеграл в преобразовании Меллина должен быть сходящимся, и потому функция $M(x)$ должна иметь порядок роста $O(x^e)$ для каждой степени экспоненты $e$, большей, чем $\frac{1}{2}$. Таким образом:

$M(x)=O\left(x^{\frac{1}{2}+ϵ}\right)$

для всех положительных $ϵ$ эквивалентно гипотезе Римана, что следовало бы из более сильной гипотезы Мертенса, а из гипотезы Стилтьеса следует, что:

$M(x)=O\left(x^{\frac{1}{2}}\right)$.

Литература

• Шаблон:Cite conference
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

• Шаблон:Mathworld

Ссылки

• Шаблон:Cite webШаблон:Cbignore