Ряд Дирихле

Шаблон:Другие значения термина Рядом Дирихле называется ряд вида

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s},$

где s и a_n — комплексные числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число ${\sigma }_c$, что при $\mathrm{Re}s>{\sigma }_c$ он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число ${\sigma }_a$, что при $\mathrm{Re}s>{\sigma }_a$ ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение $0⩽{\sigma }_a-{\sigma }_c⩽1$ (если ${\sigma }_c$ и ${\sigma }_a$ конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространёнными примерами ряда Дирихле являются дзета-функция Римана и L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Сходимость в разных точках

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке $s_0={\sigma }_0+t_{0}i$, то этот же ряд сходится в любой точке $s=\sigma +ti$, для которой $\sigma >{\sigma }_0$. Из этого следует, что существует некоторая точка $\sigma ={\sigma }_c$ такая, что при $\mathrm{Re}s>{\sigma }_c$ ряд сходится, а при $\mathrm{Re}s<{\sigma }_c$ — расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

Абсциссой абсолютной сходимости для ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}$ называется точка ${\sigma }_a$ такая, что при $\mathrm{Re}s>{\sigma }_a$ ряд сходится абсолютно. Справедливо утверждение о том, что $0⩽{\sigma }_a-{\sigma }_c⩽1$.

Поведение функции при $\mathrm{Re}s$ может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка $s={\sigma }_c$ является особой для некоторого ряда Дирихле, если ${\sigma }_c$ — его абсцисса сходимости.

Примеры

• При $\mathrm{Re}s>1$
  • $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s},$ где $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана.
  • $\frac{1}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}$, где $\mu (n)$ — функция Мёбиуса
  • $\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}$, где $\lambda (n)$ — функция Лиувиля
  • ${\zeta }^2(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\tau (n)}{n^s}$, где $\tau (n)$ — число делителей числа $n$
  • $\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}$
  • $\frac{{\zeta }^2(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{\nu (n)}}{n^s}$, где $\nu (n)$ — число простых делителей числа $n$
  • $\frac{{\zeta }^3(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\tau (n^2)}{n^s}$
  • $\frac{{\zeta }^4(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\tau (n){)}^2}{n^s}$
• При $\mathrm{Re}s>2$
  • $\frac{\zeta (s-1)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\phi (n)}{n^s}$, где $\phi (n)$ —функция Эйлера
• $\frac{1}{L(\chi ,s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)\chi (n)}{n^s},$ где $L(\chi ,s)$ — L-функция Дирихле.

• ${\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n^s},$ где Li_s(z) — полилогарифм.

Гармонический ряд

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{k}+\cdots$

расходится.