L-функция Дирихле

L-функция Дирихле $L_{\chi }(s)$ — комплексная функция, заданная при $\mathrm{Re}s>0$ (при $\mathrm{Re}s>1$ в случае главного характера) формулой

$L_{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}$,

где $\chi (n)$ — некоторый числовой характер (по модулю k). $L$-функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, центральным моментом которого является доказательство неравенства $L_{\chi }(1)\ne 0$ для неглавных характеров.

Произведение Эйлера для L-функций Дирихле

В силу мультипликативности числового характера $\chi$ $L$-функция Дирихле представима в области $\mathrm{Re}s>1$ в виде эйлерова произведения по простым числам:

$L_{\chi }(s)=\prod _p{(1-\frac{\chi (p)}{p^s})}^{-1}$.

Эта формула обуславливает многочисленные применения $L$-функций в теории простых чисел.

Связь с дзета-функцией

$L$-функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулю k, связана с дзета-функцией Римана $\zeta (s)$ формулой

$L_{{\chi }_0}(s)=\zeta (s)\prod _{p|k}(1-\frac{1}{p^s})$.

Эта формула позволяет доопределить $L_{{\chi }_0}(s)$ для области $Re(s)>0$ c простым полюсом в точке $s=1$.

Функциональное уравнение

Аналогично функции Римана, $L$-функция удовлетворяет похожему функциональному уравнению.

Определим $\mathrm{\Lambda }(\chi ,s)$ следующим образом: если $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функция, $\chi (-1)=1$ — чётный характер, то

$\mathrm{\Lambda }(\chi ,s)={\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }(s/2)L(\chi ,s)$

Если $\chi (-1)=-1$ — нечётный характер, то

$\mathrm{\Lambda }(\chi ,s)={\pi }^{-(s+1)/2}\mathrm{\Gamma }((s+1)/2)L(\chi ,s)$

Пусть также $g(\chi )=\sum _{k=1}^q\chi (k)\exp \frac{2\pi ik}{q}$ — сумма Гаусса характера $\chi$, а $\epsilon (\chi )=\frac{g(\chi )}{\sqrt{q}}$ для чётного $\chi$ и $\epsilon (\chi )=-i\frac{g(\chi )}{\sqrt{q}}$ для нечётного $\chi$. Тогда функциональное уравнение принимает вид:

$\mathrm{\Lambda }(\chi ,s)=\epsilon (\chi )q^{1/2-s}\mathrm{\Lambda }(\overline{\chi },1-s)$

См. также

• Ряд Дирихле

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга