Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Шаблон:Другие значения Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

Дирихле доказал, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l и k справедливо следующее: Шаблон:Рамка Пусть $l,k>0$ — целые числа, и $(l,k)=1$.

Тогда существует бесконечно много простых чисел $p$ таких, что $p\equiv l(\mathrm{mod}k)$. Шаблон:Конец рамки

История доказательств

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательства теоремы элементарными методами. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации

При рассмотрении простых $p\equiv l(\mathrm{mod}k)$ довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы, Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах $l$ и $k$:

$\underset{s\to 1+}{\lim }\frac{\sum _p\frac{1}{p^s}}{\ln \frac{1}{s-1}}=\frac{1}{\phi (k)},$

где суммирование ведётся по всем простым числам $p$ с условием $p\equiv l(\mathrm{mod}k)$, а $\phi$ — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов $modk$, поскольку

$\underset{s\to 1+}{\lim }\frac{\sum _p\frac{1}{p^s}}{\ln \frac{1}{s-1}}=1,$

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимно простых чисел $l$ и $k$ ряд $\sum _p\frac{1}{p}$, где суммирование ведётся по простым $p\equiv l(\mathrm{mod}k)$, расходится.

См. также

• Характеры — основной математический инструмент изучения простых чисел в арифметической прогрессии