Закон повторного логарифма

Экспериментальная иллюстрация закона повторного логарифма и закона больших чисел. Зелёным обозначены пределы блуждания согласно закону повторного логарифма. Вид графика обусловлен нелинейностью обеих осей.

Закон повторного логарифма — предельный закон теории вероятностей. Теорема определяет порядок роста делителя последовательности сумм случайных величин, при котором эта последовательность не сходится к нулю, но остается почти всюду в конечных пределах.

Для случая последовательности сумм независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с двумя значениями теорема была доказана А. Я. Хинчиным в 1924 году. Первую теорему общего типа доказал А. Н. Колмогоров в 1929 году.

Теорема

Пусть $Y_n$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть $S_n=Y_1+\dots +Y_n.$ Тогда почти наверное:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{n\ln \ln n}}=\sqrt{2},$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{S_n}{\sqrt{n\ln \ln n}}=-\sqrt{2},$

где $\ln$ — натуральный логарифм, $\mathrm{lim\; sup}$ — верхний предел, $\mathrm{lim\; inf}$ — нижний предел.

Обобщения и дополнения

Обобщения закона повторного логарифма Колмогорова для последовательностей независимых ограниченных неодинаково распределенных случайных величин были исследованы В. Феллером. Обобщение для функциональной сходимости дал Ф. Штрассен. Им же доказано, что если $Y_n$ — последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение с бесконечной дисперсией, то

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{|S_n|}{\sqrt{n\ln \ln n}}=\mathrm{\infty }.$

Взаимосвязь с другими предельными теоремами

Закон повторного логарифма занимает промежуточное положение между законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел существует в двух вариантах — слабом и усиленном, они утверждают, что суммы $S_n$ с делителем $n$ стремятся к нулю, соответственно по вероятности и почти наверное:

$\frac{S_n}{n}\stackrel{\mathbb{P}}{⟶}0,\frac{S_n}{n}⟶0$ почти наверное при $n\to \mathrm{\infty }.$

Центральная предельная теорема утверждает, что суммы $S_n$ с делителем $\sqrt{n}$ сходятся к стандартному нормальному распределению, и эта последовательность сумм не сходится к какой-либо конкретной величине ни по вероятности, ни почти наверное, а бесконечно блуждает.

Делитель в законе повторного логарифма приводит к разным результатам для сходимости по вероятности и почти наверное:

$\frac{S_n}{\sqrt{n\ln \ln n}}\stackrel{\mathbb{P}}{⟶}0$ и ни к чему не стремится почти наверное при $n\to \mathrm{\infty }$.

Таким образом, хотя величина $S_n/\sqrt{n\ln \ln n}$ будет меньше, чем любое заданное $\epsilon >0$ с вероятностью, стремящейся к единице, она будет бесконечное число раз приближаться сколь угодно близко к любой точке отрезка $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ почти наверное.