Сходимость по мере

Сходимость по ме́ре — вид сходимости измеримых функций, заданных на пространстве с мерой: последовательность почти всюду конечных измеримых вещественных функций $(f_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$, заданных на пространстве с мерой $(X,ℱ,\mu )$ сходится к $f:X\to ℝ$ по мере $\mu$, если для любого $\epsilon >0$ множество различающихся более, чем на $\epsilon$ значений между функциями последовательности от $f$, стремится к мере нуль:

$\mathrm{\forall }(\epsilon >0)\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\mu \{x\in X|\epsilon ⩽|f_n(x)-f(x)|\}=0$.

Сходимость по мере $\mu$ на измеримом множестве $E\in ℱ$ — соответствующее свойство на $E$:

$\mathrm{\forall }(\epsilon >0)\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\mu \{x\in E|\epsilon ⩽|f_n(x)-f(x)|\}=0$.

Шаблон:ЯкорьЛокальная сходимость $(f_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ по мере $\mu$ — сходимость на всех $E\in ℱ$; иногда в этом контексте о сходимости на $X$ говорят как о глобальной сходимости по мере. В случае конечной меры локальная и глобальная сходимость эквивалентны.

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений, принимающих значения в произвольных измеримых метрических пространствах; в частности, все основные свойства сходимости по мере сохраняются для сепарабельных банаховых пространств.

Стандартные обозначения (глобальной) сходимости по мере $\mu$Шаблон:Sfn: $f_n\stackrel{\mu }{⟶}f$, $f_n⟶f(\mu )$, $f=\mu -\lim f_n$.

Свойства

Шаблон:ЯкорьПоследовательность $(f_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ называется фундаментальной по мере $\mu$, если:

$\mathrm{\forall }(\epsilon >0)\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{m⩾1}\mu \{x\in X|\epsilon ⩽|f_{n+m}(x)-f_n(x)|\}=0$;

сходимость по мере и фундаментальность по мере эквивалентныШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьЕсли последовательность сходится по мере к $f$, то у неё существует подпоследовательность, сходящаяся почти всюду к $f$ (Рис). Если $\mu X$ конечна, то сходимость почти всюду к почти всюду конечной функции эквивалентна сходимости по мере (критерий сходимости по мере). Если же $\mu X=\mathrm{\infty }$, то даже сходимость всюду, вообще говоря, не влечёт сходимости по мере.

Сходимость в среднем порядка $p$ (то есть сходимость в $L^p$, при $p⩾1$) влечёт сходимость по мере к той же предельной функции; обратное, вообще говоря, неверно.

Посредством введения семейства псевдометрик ${\rho }_E$ над $E\in ℱ$:

${\rho }_E(f_1,f_2)=\underset{E}{\int }\min \{|f_1-f_2|,1\}d\mu$

строится топологическое пространство, в котором локальная сходимость по мере эквивалентна сходимости в индуцированной этим семейством псевдометрик топологии.

Сходимость по вероятности

Поскольку вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ — пространство с (вероятностной) мерой $\mathbb{P}$, то сходимость по мере естественным образом переносится на теорию вероятностей с сохранением всех общих свойств: последовательность случайных величин $(X_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ сходится по вероятности $\mathbb{P}$ к случайной величине $X$, еслиШаблон:Sfn:

$\mathrm{\forall }(\epsilon >0)\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\mathbb{P}(|X_n-X|>\epsilon )=0$.

Стандартное обозначение: $X_n\stackrel{\mathbb{P}}{⟶}X$.

Если последовательность случайных величин $X_n$ сходится по вероятности к $X$, то она сходится к $X$ и по распределению. Если последовательность случайных величин $X_n$ сходится по вероятности к $X$, то для любой непрерывной функции $f(x)$ верно, что $f(X_n)\to f(X),n\to \mathrm{\infty }$. Это утверждение верно для любой непрерывной функции многих переменных, в частности $X_n+Y_n\to X+Y,n\to \mathrm{\infty }$. Теорема Слуцкого позволяет складывать и умножать сходящиеся по вероятности и по распределению функции.

Шаблон:ЯкорьТопологию сходимости по вероятности реализует метрика Цюй Фаня (Шаблон:Iw, 1962):

$𝔎(X,Y)=\inf \{\epsilon \mid \mathbb{P}(d(X,Y)<\epsilon )<\epsilon \}$,

являющаяся минимальной по отношению к метрике Леви — Прохорова (Штрассен, 1965)Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга:ВМСЭ
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:ВМСЭ
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга