Теорема Слуцкого

Шаблон:О Теоре́ма Слу́цкого — утверждение теории вероятностей, связывает сходимость по вероятности и сходимость по распределению случайных величин. Установлена Евгением Слуцким в 1925 году, но иногда в западной литературе результат относят к Харальду Крамеру (теорема Крамера о сходимости случайных величин).

В формулировке для вероятностного пространства $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ и случайных величин $X_n,Y_m:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ ($n,m\in \mathbb{N}$), если $X_n$ сходится по распределению к случайной $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ ($X_n{\to }^{𝒟}X$), а $Y_n$ сходится по вероятности к вещественной константе $c\in ℝ$ ($Y_m{\to }^{\mathbb{P}}c$), то выполнено:

$X_n+Y_n{\to }^{𝒟}X+c$,

$X_n\cdot Y_n{\to }^{𝒟}c\cdot X$.

Таким образом, теорема обеспечивает возможность складывать и умножать сходящиеся по распределению и по мере случайные величины. Результат может быть обобщён до произвольной двухместной непрерывной функции: если (в предположениях классической теоремы) имеется непрерывная функция $f:{ℝ}^2\to ℝ$, то:

$f(X_n,Y_n){\to }^{𝒟}f(X,c)$.

Теорема и обобщение могут быть рассмотрены как прямое следствие теоремы Манна — ВальдаШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга